Геометрия пирамида рисунок: Урок 15. пирамида — Геометрия — 10 класс

Содержание

Урок 15. пирамида — Геометрия — 10 класс

Геометрия, 10 класс

Урок № 15. Пирамида

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие пирамиды;
  • Виды пирамид;
  • Элементы пирамиды: вершина, ребра, грани, основание;
  • Площадь боковой поверхности и полной поверхности пирамиды.

Глоссарий по теме

Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников

Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником

Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.

Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником

Боковые ребра – общие отрезки боковых граней

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой

Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).

Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды

Основная литература:

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. и профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений.. – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (117 с. – 121 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с.

(65 с. – 68 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

Образовательный портал «Решу ЕГЭ». https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник A1A2. ..An и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA1A2, PA2A3,…, PAnA1.

Многогранник, составленный из n-угольника A1A2…An и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A1

A2…An называется основанием, а треугольники PA1A2, PA2A3,…, PAnA1 боковые грани пирамиды, отрезки PA1, PA2,…, PAnбоковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A1A2…An и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA1A2…An.

Рисунок 1 — пирамида

Высота пирамиды

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).

Рисунок 3 – высота вне пирамиды

Рисунок 4 – Высота пирамиды — боковое ребро

Правильная пирамида

Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).

Рисунок 5 – Правильная пирамида

Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.

Рассмотрим правильную пирамиду PA1A2…An (рис. 5).

Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А1О, А2О,. ..АnО.

Образованные высотой и радиусами треугольники являются прямоугольными. Причем, эти треугольники имеют общий катет – РО и равные катеты А

1О, А2О,…АnО (равны как радиусы). Значит, треугольники РОА1, РОА2,…РОАn равны по двум катетам, значит равны гипотенузы PA1 , РA2… РAn, которые являются боковыми ребрами правильной пирамиды.

Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

Таким образом, верны следующие утверждения:

  • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Боковые ребра правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

На рисунке 5 PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду PA1A2…An и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В12,…Вn (рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2…An и В1В2…Вn (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A1A2B2B1, A2

A3B3B2, … A1AnBnB1(боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Рисунок 6 – Усеченная пирамида

Отрезки A1B1, A2B2, … AnBn называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями A1A2…An и В1В2…Вn обозначают следующим образом: A1A2…AnВ1В2…Вn.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH

1 и В1O –высоты усеченной пирамиды.

Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды

Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Для пирамиды, верно равенство Sполн= Sбок+Sосн.

Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1.

В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Решение

Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.

Ответ: 177

Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

Решение

Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4* 20=80.

Ответ: 80

Правильная пирамида — урок. Геометрия, 10 класс.

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина которой проецируется в центр основания, называется правильной пирамидой.

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

 

Правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется тетраэдром.

Все грани тетраэдра — равные равносторонние треугольники.

 

В средней школе нужно уметь решать задачи, где дана:

— правильная треугольная пирамида;

— правильная четырёхугольная пирамида;

— правильная шестиугольная пирамида.

 

Рис. \(1\). Правильная треугольная пирамида

 

Основание правильной треугольной пирамиды — равносторонний треугольник.

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения медиан.

Запомни:

\(BN:NK = 2:1\),

\(KD\) — апофема,

∢ \(NKD\) и ∢ \(NLD\) — двугранные углы при основании пирамиды,

∢ \(DCN\) и ∢ \(DBN\) — углы между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

 

Рис. \(2\). Правильная четырёхугольная пирамида

  

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат.

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).

\(ML\) — апофема,

∢ \(MLO\) — двугранный угол при основании пирамиды,

∢ \(MCO\) — угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

 

 

Рис. \(3\). Правильная шестиугольная пирамида

  

Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник.

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания (шестиугольника).

\(SE = h\) — апофема,

∢ \(OES\) — двугранный угол при основании пирамиды.

Формулы

Для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды существуют две формулы:

Sб=12Pоснования⋅hиSб=Sоснованияcosϕ, где \(P\) — периметр основания, \(h\) — апофема, ϕ — двугранный угол при основании.
 

Объём пирамиды \(V =\) 13Sосн⋅H, где \(H\) — высота пирамиды.

Обрати внимание!

Не путай \(h\) — апофему с \(H\) — высотой пирамиды!

Источники:

Рис. 1. Правильная треугольная пирамида. © ЯКласс.
Рис. 2. Правильная четырёхугольная пирамида. © ЯКласс.
Рис. 3. Правильная шестиугольная пирамида. © ЯКласс.

Пирамида. Формулы и свойства

Определение.

Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.
Рис.1

Определение. Боковая грань — это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра — это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема — это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение — это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида — это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.


Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Определение. Боковая поверхность пирамиды — это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Определение. Полная поверхность пирамиды — это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.

Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.


Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n — это количество углов в основании пирамиды.


Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.


Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.


Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) — это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции. Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) — это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол.

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида — это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием. Определение. Прямоугольная пирамида — это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида — это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида — это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр — четырехгранник у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание — правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида — многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Пирамида. Виды пирамид | Подготовка к ЕГЭ по математике

Пирамида – многогранник,  основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды 

 

1) Если все боковые ребра равны, то 

 около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

 боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

 

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Виды пирамид

 

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные  равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно  вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.


Видео

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда  это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

 

Смотрите также таблицу «Объемы пирамиды и призмы. Площадь поверхности пирамиды и призмы».

Урок геометрии в 10-м классе по теме «Моделирование пирамиды»

Цель урока: научиться моделировать пирамиду в соответствии с условием геометрической задачи.

Задачи урока:

  • развивающая: формирование умений выполнять обобщение и конкретизацию, развитие качеств мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность с учетом индивидуальных особенностей;
  • развитие познавательного интереса через творческую активность, исследовательскую деятельность на основе умения делать обобщения по данным, полученным в результате исследования; воспитывающая: развитие взаимовыручки и взаимопомощи, умения вести культурную дискуссию;
  • развитие эмоционально-положительного отношения к изучению геометрии, геометрической зоркости, пространственного воображения; воспитывать интерес к окружающему миру.

Тип урока: комплексное применение знаний, умений, навыков.

Форма урока: работа в группах.

Оборудование: интерактивная доска, учебник «Геометрия» 10-11 класс авторы Л.С.Атанасян и др., модели различных пирамид, УМК «Живая математика» – специализированный лицензионный продукт для общеобразовательных учреждений РФ, внедряющих инновационные образовательные программы, раздаточный материал к уроку, презентация (Приложение 1).

Структура урока:

1. Организационный момент. Мотивационная задача.
2. Актуализация знаний.
3. Моделирование пирамиды.
4. Рефлексия.
5. Итог.
6. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

 1. Организационный момент  (мотивационная задача)

– Здравствуйте, ребята! Мы изучаем пирамиды, рассматриваем их виды, свойства, исследуем их. И я предлагаю вашему вниманию задачу: (Приложение 1, слайд 2) 
– В треугольной пирамиде боковые ребра равны. Может ли высота такой пирамиды находиться на одной из боковых граней?
– Конечно, сразу трудно ответить на данный вопрос. Почему? (Так как нет рисунка к задаче, нужно сначала составить рисунок и рассмотреть, какими свойствами обладает эта пирамида). Сегодня в ходе урока мы ответим на этот вопрос. Какая же цель урока? Сформулируйте ее. (Научиться составлять рисунок к задаче). Да, сегодня мы с вами научимся выполнять модель пирамиды в соответствии с условием поставленной задачи.

«Я хотел бы, чтобы изобретатели дали историю путей, по которым они дошли до своих открытий.
В тех случаях, когда они вовсе не сообщают этого, нужно попробовать  отгадать эти пути».

Г. Лейбниц (Приложение 1, слайд 3)

– Запишите число и тему урока «Моделирование пирамиды».
– Вы работаете в группах, и каждый из вас создает фундамент базовых знаний, чтобы затем, изучая различные предметы, на этом фундаменте по кирпичику создать стену (дом) своих умений, навыков, знаний, своих достижений для успешной сдачи ЕГЭ, но каждый, работая  в своей группе, на своем уровне.

2. Актуализация знаний (проверка владения понятийным аппаратом, основными действиями) (Приложение 1, слайд 4)

– Что называется пирамидой?(Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1A2…An, а остальные грани – треугольники с общей вершиной).
– Правильной пирамидой? (Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой).
– Из предложенных моделей геометрических тел выберите пирамиды.
– Определите, какие среди них правильные. Почему вы сделали такой вывод?
– Назовите элементы пирамиды. (Вершины, ребра, грани). Покажите эти элементы на любой из пирамид.
– Перечислите основные свойства правильной пирамиды. (Все боковые рёбра равны между собой. Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Все двугранные углы при основании равны. Все плоские углы при вершине равны и т.д.).
– Ребята, то, что вы знаете о пирамиде, отразите, пожалуйста, в своих ответах, на вопросы математического диктанта.

 «Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра»

Сенека (Приложение 1, слайд 5)

– Желаю вам успехов

Математический диктант

  • Какое наименьшее число граней, вершин, ребер может иметь пирамида? Какого вида многоугольник находится в основании этой пирамиды? Выберите из предложенных вариантов верный ответ (Приложение 1, слайд 6)
  • Пирамида имеет 200 ребер. Существует ли такая пирамида? Если  – да, то какого вида многоугольник находится в основании пирамиды? (Приложение 1, слайд 7)
  • Высота пирамиды равна 8 м. Чему равно расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания? (Приложение 1, слайд 8, рисунок 1)
  •  Может ли в основании правильной пирамиды лежать прямоугольный треугольник? (Приложение 1, слайд 9)
  • Боковые ребра треугольной пирамиды равны 3см, 10см и 6см. Одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды? (Приложение 1, слайд 10, рисунок 2)

– Проверяем (Сначала выслушиваем ответы учащихся группы базового уровня. Если у них нет ответа, то – учащихся профильных средней и сильной группы: один из учеников первой группы обосновывает те ответы, на которые они смогли ответить своей группой. Затем, продолжают аналогично один из учащихся второй группы, затем третьей – наиболее сильной – сложные вопросы объясняют учащимся  предыдущих двух групп, применяя рисунки на слайдах презентации).

  • Верный ответ:  5.Г – 4, Р – 6, В – 4, в основании – треугольник. (Найдите соответствующую пирамиду среди предложенных вам моделей пирамид).
  • Да, существует. В основании – стоугольник.
  • 8 м, высота – перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к основанию, а перпендикуляр – кратчайшее расстояние от точки до плоскости.
  • Нет, так как пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, в нашем случае – правильный треугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
  • 3 см. Так как, если МС  |   АВС, то МС  |  СА, МС  |  СВ, МС  |  АВ; то есть треугольники АСМ, ВСМ – прямоугольные, а в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.

– Ребята, на какие вопросы вам было легче ответить? (На те, которые сопровождались рисунком). А теперь оцените свою работу и поставьте оценки: 5 верных ответов – «5», четыре верных ответа – «4», три верных ответа – «3» и т.д.

3. Моделирование пирамиды

– Успех решения геометрической задачи во многом зависит от правильно составленной модели, видеть высоту, угол, правильно выполнять рисунок, а правильно выполненный рисунок это 50%  успешного решения задачи.

«Сущность геометрии в ее методе, где строгость вывода соединяется с наглядными представлениями»

А.Д. Александров (Приложение 1, слайд 11)

–  Сейчас и мы с вами проведем моделирование и исследование пирамид. Каждая группа получает задание в зависимости от уровня сложности. Прикиньте с чего начать, представьте, что из этого получится. Как получили? На что опирались? 1 минута на обсуждение и моделирование пирамиды согласно условию.

Задание 1 группы (базовый уровень): Смоделируйте треугольную пирамиду, когда основание высоты пирамиды спроектировано в центр основания. Выполните рисунок. Покажите центр основания. Чем является для основания данная точка?

Профильный уровень 2 группа (средняя): Смоделируйте треугольную пирамиду, когда основание высоты пирамиды спроектировано в одну из вершин основания. Выполните рисунок. Покажите углы между боковым ребром и плоскостью основания.

Профильный уровень 3 группа (сильная): Смоделируйте пирамиду, когда основание высоты пирамиды спроектировано за основание пирамиды. Выполните рисунок. Покажите двугранный угол при основании (Приложение 1, слайд 12).

(Выслушиваем ответы учеников – одного от каждой группы с демонстрацией модели УМК «Живая математика» – Приложение 1, слайд 13, рисунок 3, Приложение 1, слайд 14, рисунок 4, Приложение 1, слайд 15, рисунок 5).

4. Рефлексия

Вернемся к началу нашего урока. Может ли высота треугольной пирамиды находиться на одной из граней, если ее боковые ребра равны? (Приложение 1, слайд 16). (Выслушиваем ответы учеников: может, если в основании пирамиды находится прямоугольный треугольник).

Задание общее: выполнить рисунок модели пирамиды, соответствующей условию этой задачи (3 мин.).

Каждой группе дается лист ватмана с подсказкой по уровню сложности:

1-й группе – лист ватмана в клеточку с окружностью и с вписанным в нее прямоугольным треугольником.
2-й группе – лист ватмана в клеточку с окружностью.
3-й группе – лист в клеточку.

«Геометрия приближает разум к истине».

Платон

Результаты вывешиваем на доску. Сравниваем рисунки. Выслушиваем план построения у одного из учащихся 1 (базовой) группы, если они не могут объяснить, то им помогают учащиеся из профильных групп (Приложение 1, слайд 17, рисунок 6).

5. Итог урока

– Ребята, на уроке вы научились моделировать пирамиду в соответствии с условием задачи и положили еще один кирпичик в фундамент ваших знаний при подготовке к ЕГЭ.

«Ум заключается не только в знаниях, но и в умении применять знания на деле»

Аристотель (384-322гг. до н.э. древнегреческий философ

– Вы сегодня убедились, что математика не только одна из древнейших и необходимых для развития естественных дисциплин, но и красивая наука? А об этом еще в VI веке до нашей эры говорил Пифагор.

6. Домашнее задание: для группы базового уровня п.32, 33, №249(а), для группы профильного уровня п.32, 33, №249(а, б) (слайд 18).

– Урок окончен. Всем спасибо за работу.

Дидактические материалы по теме « Пирамида»

Все на свете страшится времени,

А время страшится пирамид

Арабская пословица

Дидактические материалы

по теме « Пирамида»

Для студентов 2 курса

. Преподаватель КГСТ

Софронова Н.В

Пирамида

1.Сделайте рисунок треугольной пирамиды, и закончи предложение:

Пирамидой называется……………………………………………………..

2.На данном рисунке укажите.

  • Вершину пирамиды

  • Основание

  • Боковые ребра

  • Боковые грани

3.Закончи предложение:

.Высотой пирамиды называется……………………………………………

.Правильной пирамидой называется………………………………………

Апофемой называется………………………………………………………

Диагональным сечением называется……………………………………

4.Сделайте рис. правильной четырехугольной пирамиды и укажите:

  • Апофему

  • Высоту

  • Радиус вписанной окружности

  • Диагональное сечение

  • -Радиус описанной окружности

  • Угол между боковой гранью и плоскостью основания

  • Угол между боковым ребром и плоскостью основания

5. Запишите формулы и заполните таблицу:

n+1-вершины

n+1-грани

2n-ребра

ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1.Сколько сторон основания, боковых ребер, вершин имеет семиугольная пирамида?

2.Что такое апофема?

3 Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?

4.Всякий ли параллелограмм может быть основанием правильной пирамиды?

5Что представляет собой сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ее вершину?

6Боковое ребро пирамиды перпендикулярно к одной стороне основания. Можно ли принять это ребро за высоту пирамиды?

Усеченная пирамида

1.Сделайте рисунок усеченной пирамиды и закончите предложение:

Усеченной пирамидой называется……………………………………….

2.На данном рисунке укажите:

2.Проведите диагональное сечение в правильной четырехугольной усеченной

пирамиде?

Закончи предложение:

  • Высотой усеченной пирамиды называется……………………………………………

  • . Правильной усеченной пирамидой называется………………………………………

  • Апофемой называется………………………………………………………

  • Диагональным сечением усеченной пирамиды называется

3.Заполни таблицу:

Ответьте на вопросы

1Сколько оснований у усеченной пирамиды?

2.Сколько боковых граней ребер у семиугольной усеченной пирамиды?

3.Какой фигурой является диагональное сечение усеченной пирамиды?

4.Что называется высотой усеченной пирамиды?

5.Что называется правильной усеченной пирамидой?

Тест Пирамида

1. Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и отрезков соединяющих их, называется:

  1. конусом

  2. пирамидой

  3. призмой

  4. шаром

2. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется:

  1. медианой

  2. осью

  3. диагональю

  4. высотой

3. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются:

  1. гранями

  2. сторонами

  3. боковыми ребрами

  4. диагоналями

4. Точки, не лежащие в плоскости основания пирамиды, называются:

  1. вершинами пирамиды

  2. боковыми ребрами

  3. линейным размером

  4. вершинами грани

5. Треугольная пирамида называется:

  1. правильной пирамидой

  2. тетраэдром

  3. треугольной пирамидой

г)наклонной пирамидой

6. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:

  1. медианой

  2. апофемой

  3. перпендикуляром

  4. биссектрисой

7.Боковыми гранями усеченной пирамиды являются

а) треугольники

б) прямоугольниками

в) трапеции

г) квадраты

8.Боковыми гранями правильной пирамиды являются

А) равнобедренные треугольники

Б) равные равнобедренные треугольники

В) разносторонние треугольники

Г) прямоугольные треугольники

9. Сколько граней у шестиугольной пирамиды? 

а) 6; б) 7;   в) 8; г) 10; д) 12.

10. Какое наименьшее число рёбер может иметь пирамида?

а) 6; б) 5; в) 4; г) 7; д) 8. 

Прочитай условие задачи и разбери ее решение

Задача 1. Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13см., ВС=10см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

РЕШЕНИЕ.

  1. Приведем тогда (по теории о трех перпендикулярах), т.е. DK – высота треугольника DBC (рис. 9).

  2. Из

.

  1. Из

  1. Прямоугольные треугольники ADB и ADC равны по двум катетам. Поэтому

Ответ: 192 см2.

Задача 2.Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна , а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

Решение. ;

По условию задачи (рис 7.)

следовательно,

Из

Из Рис.7

Ответ: 3a2.

Задачи для самостоятельного решения

Пирамида

  1. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.

2..В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а боковое ребро 10 см. Найдите:

  • Высоту пирамиды;

  • Угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания пирамиды;

  • Угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды;

  • Площадь боковой поверхности пирамиды;

  • Площадь полной поверхности пирамиды;

  • Объем пирамиды;

  • Площадь сечения, проходящего через высоту основания и высоту пирамиды;

  • Площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды, параллельно основанию;

3. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 5 см, апофема 7 см. Найдите полную поверхность пирамиды.

4. В правильной четырехугольной пирамиде радиус круга, вписанного в основание пирамиды, равен 10 см; двугранный угол при основании равен 450. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

5.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см и образует с боковым ребром пирамиды угол 300 . Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

6.В основании пирамиды треугольник со сторонами 5 и 16 м и угол между ними, равным 1200 . Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 300 . Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

7.Определить полную поверхность правильной треугольной призмы , у которой боковое ребро равно 6 см и образует с диагональю боковой грани угол = 300 .

Алгоритм решения задач по нахождению объема и площади полной поверхности правильной пирамиды.

Правильная треугольная пирамида

 — угол между боковым ребром и плоскостью основания

 — угол между боковой гранью и плоскостью основания

R– радиус описанной окружности

r-радиус вписанной окружности

1) V = Sосн * H

2) S осн =

3) S пол = S бок + S осн

4) S бок = P *L

5) S бок =

6) H2 = b2 – R2

7) L2 = H2 + r2

8)

9)

10) P = 3a

11) b2 = L2 +

Правильная четырехугольная пирамида

 — угол между боковым ребром и плоскостью основания

 — угол между боковой гранью и плоскостью основания

R– радиус описанной окружности

r-радиус вписанной окружности

1) V = S осн * H

2) Sосн = а2

3) S n = S бок + S осн

4) S бок = P * L

5) P = 4a

6) ) S бок =

7) L2 = H2 + r2

8) b2 = H2 + R2

9)

10)

11) b2 = L2 +

Несколько интересных фактов о свойствах пирамид

  • Пребывание человека внутри пирамиды замедляет процесс старения.

  • В пирамиде не замерзает вода даже при очень низких температурах и приобретает особые свойства.

  • Продукты в пирамиде не портятся.

  • Лезвием, обработанным в пирамиде, можно пользоваться около трехсот раз.

  • Пирамиды способствует приобретению целебных свойств кристаллами и другими веществами.

  • Головная боль, ожоги, раны – успешно заживляются в пирамиде.

Стереометрия (Геометрия в пространстве) — Все свойства, теоремы, аксиомы и формулы — Математика

Оглавление:

 

Базовые теоремы, аксиомы и определения стереометрии

Вводные определения и аксиомы стереометрии

К оглавлению…

Некоторые определения:

  1. Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.
  2. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.
  3. Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.
  4. Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.
  5. Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.
  6. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.
  7. Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.
  8. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).
  9. Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.
  10. Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).
  11. Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.
  12. Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии:

  1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
  2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом стереометрии:

  • Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
  • Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
  • Теорема 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

 

Построение сечений в стереометрии

К оглавлению…

Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:

  • Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).
  • Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости.
  • Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки.

Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна. В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение:

  1. Линии пересечения двух плоскостей.

Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей α и β.

  1. Точки пересечения прямой и плоскости.

Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l1, по которой пересекаются плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую l.

 

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

К оглавлению…

Определение: В ходе решения задач по стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b, либо AB и CD параллельны, то пишут:

Несколько теорем:

  • Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  • Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
  • Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:

  • Прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости).
  • Прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку).
  • Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
  • Теорема 2. Если плоскость (на рисунке – α) проходит через прямую (на рисунке – с), параллельную другой плоскости (на рисунке – β), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (на рисунке – d) параллельна данной прямой:

 

Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако, в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и не пересекаются, и не параллельны).

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
  • Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O в пространстве и проведем через нее прямые a1 и b1, параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a1 и b1.

Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Это обычно не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между скрещивающимися прямыми дадим такое определение:

Определение: Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае, на прямой b) и проведем через неё прямую параллельную другой из них (в нашем случае a1 параллельна a). Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a1 и b).

Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярными могут быть как скрещивающиеся прямые, так и прямые лежащие и пересекающиеся в одной плоскости. Если прямая a перпендикулярна прямой b, то пишут:

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны, то, как обычно, пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  • Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
  • Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой.
  • Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.
  • Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a перпендикулярна плоскости β, то пишут, как обычно:

Теоремы:

  • Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
  • Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
  • Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
  • Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину:

Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

 

Теорема о трех перпендикулярах

К оглавлению…

Пусть точка А не лежит на плоскости α. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости α, и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО – перпендикуляр к плоскости α, а М – произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок ОМ – ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость α. Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:

Теорема 2 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так:

Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

  • две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
  • из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Определения расстояний объектами в пространстве:

  • Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.
  • Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
  • Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
  • Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Определение: В стереометрии ортогональной проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α.

Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).

Определение: Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (угол АОА’ на чертеже выше).

Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

 

Двугранный угол

К оглавлению…

Определения:

  • Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
  • Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

  • Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.
  • Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.
  • Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  • Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

 

Симметрия фигур

К оглавлению…

Определения:

  1. Точки M и M1 называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка MM1.
  2. Точки M и M1 называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна ему.
  3. Точки M и M1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна этому отрезку.
  4. Точка O (прямая l, плоскость α) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l, плоскости α) некоторой точке этой же фигуры.
  5. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

 

Призма

К оглавлению. ..

Определения:

  1. Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
  2. Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.
  3. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.
  4. Боковая поверхность – объединение боковых граней.
  5. Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.
  6. Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.
  7. Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.
  8. Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.
  9. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.
  10. Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.
  11. Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Свойства и формулы для призмы:

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

где: Sосн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE), h – высота (на чертеже это MN).

  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания:

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы (на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A2B2C2D2E2).
  • Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное (ортогональное) сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Sсеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA1 или BB1 и так далее).

  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Pсеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Виды призм в стереометрии:

  • Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (изображены выше). Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани – параллелограммы.
  • Прямая призма – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения (у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания). Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или, в данном случае, высоту призмы):

где: Pосн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = Sоснh = Sоснl.

  • Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. такой, у которого все стороны и все углы равны между собой), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

  1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
  2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
  3. Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
  4. Правильная призма является прямой.

 

Параллелепипед

К оглавлению…

Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.

Другие свойства и определения:

  • Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими, а имеющие общее ребро – смежными.
  • Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.
  • Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
  • Параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
  • У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
  • Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники (а основания – произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям). Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
  • Параллелепипед называется наклонным, если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
  • Объем прямого или наклонного параллелепипеда рассчитывается по общей формуле для объема призмы, т.е. равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (V = Sоснh).
  • Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники (т.е. кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками), называется прямоугольным. Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:
    • Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением:

d2 = a2 + b2 + c2.

    • Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда:

  • Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:
    • Абсолютно все рёбра куба равны между собой.
    • Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:

  • Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба:

 

Пирамида

К оглавлению…

Определения:

  • Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды.

  • Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE.
  • Грани, отличные от основания, называются боковыми. На чертеже это: ABC, ACD, ADE и AEB.
  • Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). На чертеже это A.
  • Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. На чертеже это: AB, AC, AD и AE.
  • Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания. Для пирамиды с чертежа обозначение будет таким: ABCDE.

  • Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой (как на чертеже) высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно.
  • Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF.
  • Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE.

Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):

Если все боковые ребра (SA, SB, SC, SD на чертеже ниже) пирамиды равны, то:

  • Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка O). Иными словами, высота (отрезок SO), опущенная из вершины такой пирамиды на основание (ABCD), попадает в центр описанной вокруг основания окружности, т. е. в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания.
  • Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (на чертеже ниже это углы SAO, SBO, SCO, SDO).

Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом (углы DMN, DKN, DLN на чертеже ниже равны), то:

  • В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка N). Иными словами, высота (отрезок DN), опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, т.е. в точку пересечения биссектрис основания.
  • Высоты боковых граней (апофемы) равны. На чертеже ниже DK, DL, DM – равные апофемы.
  • Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему).

где: P – периметр основания, a – длина апофемы.

Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней (апофемы) равны.

 

Правильная пирамида

К оглавлению…

Определение: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды – это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр (по определению). Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше.

  • В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
  • В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу.
  • Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Формулы для объема и площади пирамиды

К оглавлению. ..

Теорема (об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований). Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы (Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна (см. рисунок ниже). Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно – в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам).

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где: Sосн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.

  • Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу:

где: Sбок – площадь боковой поверхности, S1, S2, S3 – площади боковых граней.

  • Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

 

Тетраэдр

К оглавлению…

Определения:

  • Тетраэдр – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
  • Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра:
    1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
    2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
    3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

На чертеже изображен правильный тетраэдр, при этом треугольники ABC, ADC, CBD, BAD – равны. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра (а – длина ребра):

 

Прямоугольная пирамида

К оглавлению…

Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA – ребро, являющееся одновременно высотой.

 

Усечённая пирамида

К оглавлению…

Определения и свойства:

  • Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
  • Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Итак, у усеченной пирамиды на чертеже два основания: ABC и A1B1C1.
  • Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA1B1B.
  • Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA1.
  • Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.
  • Усеченная пирамида называется правильной, если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
  • Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники.
  • Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.
  • Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.
  • Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Формулы для усеченной пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен:

где: S1 и S2 – площади оснований, h – высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы:

где: P1 и P2 – периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а – длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

 

Пирамида и шар (сфера)

К оглавлению…

Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. На чертеже справа, на высоте SH надо выбрать точку О, равноудалённую от всех вершин пирамиды: SO = = = OD = OA. Тогда точка О – центр описанного шара.

Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными.

Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β.

На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:

ОМ = ОО1

 

Пирамида и конус

К оглавлению…

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство: Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

 

Пирамида и цилиндр

К оглавлению…

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

 

Сфера и шар

К оглавлению…

Определения:

  1. Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.
  2. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.
  3. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.
  4. Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
  5. Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.
  6. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.
  7. Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.
  8. Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Теоремы:

  • Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
  • Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Определения:

  1. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
  2. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
  3. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
  • Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

Многогранники и сфера

К оглавлению…

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

 

Объем и площадь поверхности шара

К оглавлению…

Теоремы:

  • Теорема 1 (о площади сферы). Площадь сферы равна:

где: R – радиус сферы.

  • Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле:

 

Шаровой сегмент, слой, сектор

К оглавлению. ..

Шаровой сегмент

В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:

Площадь внешней поверхности шарового сегмента:

Площадь полной поверхности шарового сегмента:

Объем шарового сегмента:

Шаровой слой

В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r1, r2 − радиусы оснований шарового слоя, S1, S2 − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.

Шаровой сектор

В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:

где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

 

Цилиндр

К оглавлению…

Определения:

  1. В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

  1. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.
  2. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.
  3. Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.
  4. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.
  5. Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.
  6. Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.
  7. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
  8. Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.
  9. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
  10. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
  11. Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.

 

Цилиндр и призма

К оглавлению…

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:

 

Цилиндр и сфера

К оглавлению…

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R), высоту цилиндра (h) и радиус цилиндра (r):

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадью полной поверхности цилиндра, как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т. е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра Sполн. цилиндра вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:

 

Конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга (называемого основанием конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (называемой вершиной конуса) и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

  1. Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
  2. Поверхность конуса состоит из основания конуса (круга) и боковой поверхности (составленной из всех возможных образующих).
  3. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  4. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
  5. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не являющимся осью.
  6. Радиусом конуса называется радиус его основания.
  7. Высотой конуса называется перпендикуляр (или его длина), опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, т.е. прямая проходящая через центр основания и вершину.
  8. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

  1. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.
  2. Высота (h), радиус (R) и длина образующей (l) прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: Sосн = πR2. Следовательно, площадь полной поверхности конуса Sполн. конуса вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.

 

Усеченный конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

  1. Основание исходного конуса и круг, получающийся в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями, а отрезок, соединяющий их центры — высотой усеченного конуса.
  2. Прямая проходящая через высоту усеченного конуса (т.е. через центры его оснований) является его осью.
  3. Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конуса, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.
  4. Все образующие усеченного конуса равны между собой.
  5. Усеченный конус может быть получен при повороте на 360° прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.
Формулы для усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

где: S1 = πr12 и S2 = πr22 – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r1 и r2 – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где: P1 = 2πr1 и P2 = 2πr2 – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

 

Конус и сфера

К оглавлению…

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус, если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

 

Конус и пирамида

К оглавлению…

  • Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида – описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
  • Пирамида называется вписанной в конус (конус – описанным около пирамиды), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Примечание: Подробнее о том, как в стереометрии конус вписывается в пирамиду или описывается около пирамиды уже говорилось в ранее здесь.

Пирамиды — Математика средней школы

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

 

Геометрия: пирамиды

Пирамиды

Книга по геометрии была бы неполной, если бы в ней не было ничего, кроме беглого упоминания о пирамидах. Египтяне прославили пирамиды, и люди проезжали много миль, чтобы увидеть эти впечатляющие сооружения.Инженеры и археологи в равной степени впечатлены дизайном и строительством пирамид.

Вы, наверное, представляете, как выглядит типичная пирамида . У него квадратное основание и четыре треугольные стороны, поднимающиеся вверх и соединяющиеся в одной точке. Может оказаться сюрпризом узнать, что с точки зрения математика существует много видов пирамид. Чтобы построить общую пирамиду, начните с многоугольника (он не обязательно должен быть квадратным или даже четырехугольным!) на плоскости и точки над многоугольником.Соедините каждую вершину многоугольника с этой точкой и вуаля! У вас есть пирамида. Многоугольник, с которого вы начали, называется основанием пирамиды, а точка называется вершиной пирамиды. Я нарисовал для вас традиционную пирамиду и пятиугольную пирамиду на рис. 21.3. Обратите внимание, что боковые грани пирамиды — треугольники.

Как и в случае с призмами, название пирамиды определяется формой ее основания. Существуют шестиугольные пирамиды и треугольные пирамиды. Попробуйте придумать многоугольник, образующий основание каждой из этих пирамид.Существуют также правильные пирамиды: пирамиды, основание которых представляет собой правильный многоугольник, а все боковые ребра конгруэнтны.

Выдержки из The Complete Idiot’s Guide to Geometry 2004 Denise Szecsei, Ph.D. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476.Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и в Barnes & Noble.

Пирамида по математике: определение и практические задачи — видео и стенограмма урока

Формулы пирамиды

Существуют формулы, по которым можно найти как площадь поверхности, так и объем пирамиды. Площадь поверхности пирамиды — это общая площадь всех поверхностей, которые имеет пирамида. С этой целью формула для нахождения площади поверхности, когда все боковые грани одинаковы:

SA = (площадь основания) + (1/2) * (периметр) * (наклонная высота)

Основание площадь является площадью основания и может быть определена исходя из того, какой фигурой является основание.2

Периметр — это расстояние вокруг основания пирамиды. Наклонная высота — это высота по диагонали от центра одного из базовых ребер до вершины.

Если у пирамиды боковые грани отличаются друг от друга (как в случае неправильной пирамиды), то уравнение площади поверхности:

SA = (высота основания) + (площадь боковой поверхности)

В этом В этом случае вы должны взять каждую сторону пирамиды отдельно (включая основание), найти площади, а затем просто сложить их вместе.

Объем пирамиды можно найти по следующей формуле:

V = (1/3) * (площадь основания) * (высота)

Площадь основания, опять же, просто площадь основания пирамиды . Однако в этом случае высота — это длина линии от вершины, которая образует прямой угол с основанием.

Примеры задач

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Квадратная пирамида имеет высоту 9 метров. Если сторона основания равна 4 м, то каков объем пирамиды?

Поскольку основание квадратное, площадь основания = 4 * 4 = 16 м^2. 3

Пример 2

Какова площадь поверхности пирамиды, рассмотренной в первом примере?

Чтобы найти площадь поверхности, мы должны сначала найти наклонную высоту пирамиды. Поскольку мы знаем высоту и длину основания, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти наклонную длину.

Вы видите, что синие и красные линии образуют прямоугольный треугольник. Длина длинной стороны треугольника равна 9 метрам, или высоте треугольника.2

Резюме урока

В геометрии пирамида представляет собой трехмерную фигуру, основанием которой может быть любой многоугольник. Все углы многоугольника соединяются в вершине или точке пирамиды. Существуют формулы, по которым можно определить площадь поверхности и объем любой пирамиды. Формула для нахождения площади поверхности, когда все боковые грани одинаковы:

SA = (площадь основания) + (1/2) * (периметр) * (наклонная высота)

Площадь основания равна площадь основания и может быть определена исходя из того, какой фигурой является основание. 2

Периметр — это расстояние вокруг основания пирамиды. Наклонная высота — это высота по диагонали от центра одного из базовых ребер до вершины.

Если у пирамиды боковые грани отличаются друг от друга (как в случае неправильной пирамиды), то уравнение площади поверхности:

SA = (высота основания) + (площадь боковой поверхности)

Объем Пирамиду можно найти по следующей формуле:

V = (1/3) * (площадь основания) * (высота)

Ключевые термины

  • Пирамида: трехмерная форма, основанием которой может быть любой многоугольник
  • треугольная пирамида: пирамида с треугольником в основании
  • квадратная пирамида: пирамида с квадратом в основании
  • пятиугольная пирамида: пирамида с пятиугольником в основании
  • правильная пирамида: пирамида, в которой вершина пирамиды находится непосредственно над центром ее основания
  • наклонная пирамида: пирамида, в которой вершина пирамиды не находится непосредственно над центром ее основания
  • правильная пирамида: пирамида, основанием которой является правильный многоугольник
  • неправильная пирамида: пирамида, основанием которой является неправильный многоугольник
  • площадь поверхности: общая площадь всех поверхностей
  • Площадь базы
  • : площадь базы
  • периметр: расстояние вокруг основания пирамиды
  • наклонная высота: высота по диагонали от центра одного из краев основания до вершины
Красная стрелка — это высота наклона или высота по диагонали от центра одного из краев основания до вершины.

Результаты обучения

Изучив этот урок, вы должны уметь:

  • Определять различные типы пирамид
  • Вычислите объем, площадь, периметр и наклонную высоту, используя формулы пирамиды

Пирамиды

Обзор

Пирамида — это многогранник (т.е. трехмерная геометрическая форма с плоскими гранями и прямыми краями). Что отличает пирамиду от других типов многогранников, так это то, что хотя одна ее грань (основание пирамиды) является многоугольником и может иметь три или более сторон, все остальные грани представляют собой треугольники . Как видно из рисунка ниже, каждая сторона основания образует одну сторону треугольника, соединяющего основание пирамиды с ее вершиной . Эти треугольные грани имеют одну общую вершину (вершину пирамиды) и их количество будет равно количеству сторон, образующих основание. Пирамида с основанием, имеющим 90 262 n 90 263 сторон, будет иметь 90 262 n 90 263 +1 граней (т. е. 90 262 одного базового многоугольника 90 263 и 90 262 n 90 263 треугольных сторон). Он также будет иметь 2 n ребер и n +1 вершин. Обратите внимание, что существует особый тип пирамиды, называемый 90 262 тетраэдром 90 263, основанием которого является 90 262, а также 90 263 треугольник. Тетраэдры обладают некоторыми особыми свойствами, о которых мы поговорим в другом месте. На этой странице мы обсудим свойства пирамид в целом.


Пирамида имеет многоугольное основание и треугольные стороны


Различные цивилизации по всему миру за последние три тысячи лет или около того построили сооружения в форме пирамид. Вероятно, самой известной и, безусловно, одной из самых больших является Великая пирамида в Гизе, на окраине Каира в Египте. Великая пирамида, также известная как Пирамида Хуфу или Пирамида Хеопса , является самой большой и, вероятно, самой старой из нескольких пирамид в Гизе. Считается, что он был построен около четырех с половиной тысяч лет назад как гробница фараона Хуфу . В течение нескольких тысяч лет это было крупнейшее рукотворное сооружение в мире и единственное из оригинальных чудес древнего мира, которое все еще существует. Великая пирамида, как и многие другие египетские пирамиды, имеет квадратное основание и похожа по форме на иллюстрацию выше. Считается, что форма пирамиды (с большей частью веса, близкой к земле) была выбрана для того, чтобы позволить этим древним цивилизациям создавать очень большие и устойчивые конструкции.


Пирамиды в Гизе, недалеко от Каира, Египет


Виды пирамид

Существует несколько факторов, определяющих тип пирамиды. Возможно, слово «тип» следует заменить словом «форма», так как существует потенциально бесконечное количество различных форм пирамид, многие из которых не попадают в какую-то конкретную категорию. Общие размеры пирамиды, конечно, будут иметь значение. Помимо этого, наиболее важные различия будут заключаться в форме основания многоугольника (т. е. в количестве сторон, которые он имеет, и является ли он правильным многоугольником) и в ориентации вершины пирамиды относительно основания. основание (т. е. вершина расположена над геометрическим центром основания или смещена на некоторое расстояние в определенном направлении). Наиболее известная форма пирамиды, вероятно, показана выше, которая имеет квадратное основание и вершину, расположенную непосредственно над геометрическим центром основания.Вот некоторые другие часто встречающиеся форматы:


Треугольная пирамида (тетраэдр) имеет треугольное основание.



Пятиугольная пирамида имеет пятиугольное основание



Шестиугольная пирамида имеет шестиугольное основание


Только пирамиды, у которых есть базовый многоугольник с тремя , четырьмя или пятью сторонами, могут быть полностью составлены из правильных многоугольников. Это требует, чтобы каждая грань пирамиды имела стороны одинаковой длины и внутренние углы одинаковой величины. Основание пирамиды должно быть равносторонним треугольником, квадратом или правильным пятиугольником. Остальные грани должны быть конгруэнтными равносторонними треугольниками с длиной стороны, равной длине одной стороны базового многоугольника. Сама пирамида может считаться правильной пирамидой , если основание пирамиды представляет собой правильный многоугольник, а стороны пирамиды представляют собой конгруэнтные треугольники (равносторонние или равнобедренные).Если основание пирамиды , а не правильный многоугольник (т.е. длины сторон и величины внутренних углов различаются), то и сама пирамида будет неправильной.


Положение вершины относительно основания является важным фактором.


Другой интересной особенностью, как упоминалось выше, является ориентация вершины пирамиды по отношению к основанию. Если вершина находится прямо над геометрическим центром (или центроидом ) основания, то говорят, что пирамида является правильной пирамидой . Обратите внимание, что для того, чтобы это было правдой, отрезок, соединяющий геометрический центр основания с вершиной, должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежит основание. Если вершина , а не , лежит непосредственно над геометрическим центром основания, говорят, что пирамида является наклонной пирамидой . Наклонная пирамида по определению неправильная (независимо от того, правильный многоугольник в основании или нет), потому что стороны пирамиды не могут быть конгруэнтными.


Пирамида с неправильным многоугольником в основании сама по себе неправильная.


Объем и площадь поверхности пирамиды

Объем 90 262 V 90 263 пирамиды, независимо от формы ее основания или ориентации ее вершины, вычисляется как одна треть площади ее основания, умноженной на ее высоту (то же самое, кстати, верно и для конуса). Мы можем формализовать эту связь как:

В   =   1 / 3 Bh

где B — площадь основания, а h — высота пирамиды (т.е. расстояние по перпендикуляру от основания пирамиды до ее вершины). Нахождение площади поверхности пирамиды может быть немного сложнее, если пирамида неправильная, так как основание (обычно) будет неправильным многоугольником, а треугольные грани будут различаться по форме.В таком случае площадь каждой грани пирамиды (включая основание) должна быть найдена отдельно, а значения сложены вместе, чтобы получить общую площадь поверхности. Если пирамида обычная пирамида , жизнь несколько проще. Тогда общая площадь поверхности A определяется как:

A   =   B + 1 / 2 pl

где B — площадь основания, p — длина периметра основания, а l — наклонная высота пирамиды (см. иллюстрацию ниже).Обратите внимание, что наклонную высоту l правильной пирамиды можно рассчитать по следующей формуле:

l   =  √ ( h 2 + r 2 )

где 90 262 h 90 263 — высота пирамиды, а 90 262 r 90 263 — длина 90 262 внутреннего радиуса 90 263 основания пирамиды (т. е. длина радиуса вписанной в основание окружности, которая также является расстоянием между геометрический центр основания и центр одной из его сторон).Нахождение площади основания должно быть относительно простым, так как основание представляет собой правильный многоугольник. Если вам нужно освежить память на эту тему, см. страницу под названием «Правильные многоугольники» в этом разделе. Площадь поверхности пирамиды часто называют состоящей из двух отдельных компонентов. Первая — это базовая область (т. е. площадь базового полигона). Вторая — это боковая площадь (т. е. объединенная площадь поверхности треугольных граней).


Периметр основания p , высота h , наклонная высота l и внутренний радиус r правильной пирамиды



Грани, вершины и ребра треугольной пирамиды

Треугольная пирамида — это объемная фигура, у которой все грани — треугольники.Эти пирамиды характеризуются наличием треугольного основания и трех боковых треугольных граней. Треугольные пирамиды имеют 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.  Три грани пирамиды сходятся в каждой вершине. Если все грани равнобедренные треугольники, то фигура называется тетраэдром.

Здесь мы узнаем больше о гранях, вершинах и ребрах треугольных пирамид. Мы будем использовать диаграммы, чтобы проиллюстрировать концепции.

ГЕОМЕТРИЯ

Относится к

Знакомство с гранями, вершинами и ребрами треугольных пирамид.

См. лица

ГЕОМЕТРИЯ

Относится к

Знакомство с гранями, вершинами и ребрами треугольных пирамид.

См. лица

Грани треугольной пирамиды

Гранями треугольной пирамиды являются плоские поверхности, ограниченные вершинами и ребрами. Лица образуют трехмерную фигуру. Все пирамиды состоят из основания и боковых треугольных граней.

В случае треугольных пирамид у нас есть треугольная грань в основании и три боковые треугольные грани. Это означает, что всего у нас есть четыре треугольных грани. Боковые треугольные грани встречаются в одной верхней точке, называемой вершиной.

Площадь поверхности пирамиды находится путем сложения площадей всех граней фигуры. Мы знаем, что площадь любого треугольника равна половине произведения длины его основания на высоту треугольника. Кроме того, если основание представляет собой равносторонний треугольник, основания и высоты боковых граней будут равны, поэтому формула площади поверхности пирамиды будет .


Вершины треугольной пирамиды

Вершины треугольной пирамиды — это точки, где сходятся три ребра. В общем, вершины определяются как точки, в которых встречаются два или более отрезка прямой. Вершины также можно рассматривать как точки, в которых встречаются три грани пирамиды. Всего треугольные пирамиды имеют 4 вершины.

Начните прямо сейчас: изучите наши дополнительные ресурсы по математике

Ребра треугольной пирамиды

Ребра треугольной пирамиды — это отрезки, соединяющие две вершины.Ребра расположены на границах пирамиды. Ребра также определяются как отрезки линии, на которых встречаются две треугольные грани пирамиды.

Всего у треугольной пирамиды 6 ребер. На диаграмме мы видим, что каждая грань имеет три ребра, и каждое ребро является общим для двух треугольных граней.


См. также

Хотите узнать больше о треугольных пирамидах? Взгляните на эти страницы:

Изучайте математику с помощью наших дополнительных ресурсов по различным темам

УЗНАТЬ БОЛЬШЕ сообщите об этом объявлении

Нахождение площади поверхности и объема пирамиды?

Как найти площадь поверхности пирамиды

Площадь поверхности формы 3D3D3D говорит нам о сумме площадей всех сторон формы. В этой главе мы узнаем о площади поверхности и объемах пирамид. Есть много разных пирамид, таких как квадратная пирамида или прямоугольная пирамида. Так как же найти площадь поверхности пирамиды? На самом деле существуют формулы, которые помогут вам найти это.

Формула площади поверхности

Для обычной правильной пирамиды, все грани которой одинаковы, площадь поверхности равна сумме площадей всех граней пирамиды.

Для пирамиды с квадратным основанием вам нужно рассчитать площадь треугольника, используя: 12bs\frac{1}{2}bs21​bs (для каждого треугольника, с которым вы работаете), а затем найти площадь база.{2}SA=2bs+b2

По сути, для обеих этих формул вы просто находите площади всех сторон пирамиды, а затем складываете их вместе, чтобы получить общую площадь поверхности. Вы можете представить раскинутую сеть трехмерной формы, и вам нужно рассчитать каждый из участков площади сети отдельно.

как найти объем пирамиды

Том показывает, сколько места занимает объект. Для пирамиды вы можете использовать приведенную ниже формулу, чтобы найти ответ.

Формула для объема

Объем пирамиды = 13\frac{1}{3}31​ x (площадь основания) x hhh

Примеры задач

Вопрос:

Найдите площадь поверхности и объем

площадь поверхности и объем

Решение:

Во-первых, мы ищем площадь поверхности (SA). Нам нужно будет найти площадь основания и четырех треугольных сторон. Для треугольных сторон нам не хватает высоты треугольника.{3}В=24м3

Вопрос 2:

Найдите площадь поверхности и объем

Площадь поверхности и объем данного контейнера

Решение:

Начнем с поиска площади поверхности (SA). Перед этим нам нужно преобразовать неравные единицы и собрать необходимую информацию, которая не дана нам на графике.

Во-первых, нам нужны все числа в сантиметрах. Итак,

30мм=3см30мм = 3см30мм=3см

Затем нам нужно найти высоту сторон треугольника. {3}V=2,24 см3

Не стесняйтесь исследовать объем треугольной пирамиды с помощью этого онлайн-калькулятора объема. Если вы готовы двигаться дальше, узнайте о площади поверхности и объеме других фигур и попробуйте решить некоторые задачи со словами на объем.

Пирамида (геометрия) вики | TheReaderWiki

В геометрии пирамида (от греческого: πυραμίς pyramís ) [1] [2] представляет собой многогранник, образованный соединением многоугольного основания и точки, называемой вершиной.Каждое базовое ребро и вершина образуют треугольник, называемый боковой гранью . Это коническое тело с многоугольным основанием. Пирамида с n -гранным основанием имеет n + 1 вершин, n + 1 граней и 2 n ребер. Все пирамиды самодвойственны.

Вершина правильной пирамиды находится прямо над центром тяжести ее основания. Неправильные пирамиды называются косыми пирамидами . Правильная пирамида имеет правильное многоугольное основание и обычно подразумевается как правильная пирамида . [3] [4]

Когда не указано иное, пирамида обычно считается правильной квадратной пирамидой , как физические структуры пирамиды. Пирамиду с треугольным основанием чаще называют тетраэдром.

Среди наклонных пирамид, как и остроугольных и тупоугольных треугольников, пирамида может быть названа острой , если ее вершина находится выше внутренней части основания, и тупоугольной , если ее вершина находится над внешней стороной основания. У прямоугольной пирамиды вершина находится над ребром или вершиной основания.В тетраэдре эти квалификаторы меняются в зависимости от того, какая грань считается основанием.

Пирамиды относятся к классу призматоидов. Пирамиды можно удвоить в бипирамиды, добавив вторую точку смещения на другой стороне базовой плоскости.

Прямоугольные пирамиды с правильным основанием

Прямоугольная пирамида с правильным основанием имеет стороны равнобедренного треугольника, с симметрией C n v или [1, n ], с порядком 2 n . Ему можно задать расширенный символ Шлефли ( ) ∨ { n }, представляющий точку ( ), присоединенную (ортогонально смещенную) к правильному многоугольнику {n}.Операция соединения создает новое ребро между всеми парами вершин двух соединенных фигур. [5]

Треугольная или треугольная пирамида со всеми равносторонними треугольными гранями становится правильным тетраэдром, одним из Платоновых тел. Случай более низкой симметрии треугольной пирамиды — это C 3v , который имеет основание равностороннего треугольника и 3 одинаковых стороны равнобедренного треугольника. Квадратные и пятиугольные пирамиды также могут быть составлены из правильных выпуклых многоугольников, и в этом случае они являются телами Джонсона.

Если все ребра квадратной пирамиды (или любого выпуклого многогранника) касаются сферы так, что точки касания в среднем находятся в центре сферы, то пирамида называется канонической и образует половину правильного октаэдра.

Пирамиды с шестигранным или большим основанием должны состоять из равнобедренных треугольников. Шестиугольная пирамида с равносторонними треугольниками была бы совершенно плоской фигурой, а в семиугольной или более высокой пирамиде треугольники вообще не пересекались бы.

Правые звездчатые пирамиды

Правые пирамиды с правильными многоугольными основаниями называются звездчатыми пирамидами . [6] Например, пентаграммная пирамида имеет основание в виде пентаграммы и 5 пересекающихся треугольных сторон.

Прямые пирамиды с неправильным основанием

Пример общей правильной пирамиды с вершиной над центром тяжести базового многоугольника

Правая пирамида может быть названа как ( )∨P, где ( ) — точка вершины, ∨ — оператор соединения, а P — базовый многоугольник.

Правый тетраэдр равнобедренного треугольника может быть записан как ( )∨[( )∨{ }] как соединение точки с основанием равнобедренного треугольника, как [( )∨( )]∨{ } или { }∨ { } как соединение (ортогональные смещения) двух ортогональных сегментов, двуугольного дисфеноида, содержащего 4 грани равнобедренного треугольника. Он имеет симметрию C 1v из двух разных ориентаций основания и вершины и C 2v в его полной симметрии.

A прямоугольная правая пирамида , записанная как ( )∨[{ }×{ }], и ромбическая пирамида , как ( )∨[{ }+{ }], обе имеют симметрию C 2v .

Правильные пирамиды
Прямоугольная пирамида Ромбическая пирамида

Объем

Объем пирамиды (также любого конуса) равен В знак равно 1 3 б час {\ Displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} бч} , где b — площадь основания и h — высота от основания до вершины.Это работает для любого многоугольника, правильного или неправильного, и любого положения вершины при условии, что h измеряется как расстояние по перпендикуляру от плоскости, содержащей основание. В 499 г. н.э. Арьябхата, математик-астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии, использовал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.6).

Формула может быть формально доказана с помощью исчисления. По аналогии линейные размеры поперечного сечения, параллельного основанию, линейно возрастают от вершины к основанию.Коэффициент масштабирования (коэффициент пропорциональности) равен 1 − у час {\ Displaystyle 1 — {\ tfrac {у} {ч}}} , или час − у час {\ Displaystyle {\ tfrac {ч-у} {ч}}} , где h — высота, а y — расстояние по перпендикуляру от плоскости основания до поперечного сечения. Поскольку площадь любого поперечного сечения пропорциональна квадрату коэффициента масштабирования формы, площадь поперечного сечения на высоте y равна б ( час − у ) 2 час 2 {\ displaystyle b {\ tfrac {(hy) ^ {2}} {h ^ {2}}}} , или поскольку оба числа b и h являются константами, б час 2 ( час − у ) 2 {\ displaystyle {\ tfrac {b} {h ^ {2}}} (hy) ^ {2}} . Объем задается интегралом

б час 2 ∫ 0 час ( час − у ) 2 г у знак равно − б 3 час 2 ( час − у ) 3 | 0 час знак равно 1 3 б час .{ч} = {\ tfrac {1} {3}} ч.ч.}

То же уравнение, В знак равно 1 3 б час {\ Displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} бч} , справедливо и для конусов с любым основанием. Это можно доказать аргументом, подобным приведенному выше; см. объем конуса.

Например, объем пирамиды, основанием которой является n -сторонний правильный многоугольник с длиной стороны s и высотой h равен

В знак равно н 12 час с 2 детская кроватка ⁡ π н .{2} \ раскладушка {\ гидроразрыва {\ пи} {п}}.}

Формула также может быть выведена точно без вычислений для пирамид с прямоугольными основаниями. Рассмотрим единичный куб. Нарисуйте линии от центра куба к каждой из 8 вершин. Это разбивает куб на 6 равных квадратных пирамид с площадью основания 1 и высотой 1/2. Каждая пирамида явно имеет объем 1/6. Отсюда мы заключаем, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.

Затем равномерно расширьте куб в трех направлениях на неравные величины так, чтобы получились прямоугольные твердые ребра a , b и c , с сплошной объем abc .Каждая из 6 пирамид внутри также расширена. И каждая пирамида имеет одинаковый объем abc /6. Поскольку пары пирамид имеют высоты a /2, b /2 и c /2, мы снова видим, что объем пирамиды = высота × площадь основания/3.

Когда боковые треугольники равносторонние, формула для объема

В знак равно 1 12 н с 3 детская кроватка ⁡ ( π н ) 1 − 1 4 грех 2 ⁡ π н . {2}}}} , где h — высота пирамиды, а r — радиус основания.

Центроид

Центроид пирамиды расположен на отрезке, который соединяет вершину с центром тяжести основания. Для сплошной пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины.

n-мерные пирамиды

Двумерная пирамида представляет собой треугольник, образованный ребром основания, соединенным с неколлинеарной точкой, называемой вершиной.

Четырехмерная пирамида называется многогранной пирамидой, построенной из многогранника в трехмерной гиперплоскости четырехмерного пространства с другой точкой вне этой гиперплоскости.

Пирамиды больших размерностей строятся аналогично.

Семейство симплексов представляет собой пирамиды любой размерности, возрастающие от треугольника, тетраэдра, 5-клеточного, 5-симплекса и т. д. n-мерный симплекс имеет минимум n+1 вершин, причем все пары вершин соединены ребра, все тройки вершин, определяющие грани, все четверки точек, определяющие ячейки тетраэдра и т. д.

Многогранная пирамида

В четырехмерной геометрии многогранная пирамида представляет собой 4-мерный многогранник, построенный ячейкой базового многогранника и вершиной точка.Боковые грани представляют собой ячейки пирамиды, каждая из которых образована одной гранью базового многогранника и вершиной. Вершины и ребра многогранных пирамид образуют примеры графов вершин, графов, образованных добавлением одной вершины (вершины) к плоскому графу (графу основания).

Правильный 5-элементный (или 4-симплексный) пример тетраэдрической пирамиды . Из однородных многогранников с радиусом описанной окружности меньше 1 можно составить многогранные пирамиды с правильными четырехгранными сторонами. Многогранник с v вершинами, e ребер и f граней может быть основанием многогранной пирамиды с v+1 вершинами, e+v ребрами, f+e гранями и 1+f кл.

Четырехмерная многогранная пирамида с осевой симметрией может быть визуализирована в трехмерном виде с помощью диаграммы Шлегеля — трехмерной проекции, вершина которой находится в центре базового многогранника.

Пирамиды на основе равносторонних однородных многогранников (диаграмма Шлегеля)
Симметрия [1,1,4] [1,2,3] [1,3,3] [1,4,3] [1,5,3]
Имя Квадратно-пирамидальная пирамида Треугольная призматическая пирамида Четырехгранная пирамида Кубическая пирамида Восьмигранная пирамида Икосаэдрическая пирамида
Сегментохора
индекс [7]
К4. 4 К4.7 К4.1 К4.26.1 К4.3 К4.84
Высота 0,707107 0,645497 0,7

0,500000 0,707107 0,309017
Изображение
(базовый)
Основание Квадрат
Пирамида
Треугольная
призма
Тетраэдр Куб Октаэдр Икосаэдр

Любой выпуклый 4-многогранник можно разделить на многогранных пирамиды , добавив внутреннюю точку и создав по одной пирамиде от каждой грани к центральной точке.Это может быть полезно для вычисления объемов.

Четырехмерный гиперобъем многогранной пирамиды составляет 1/4 объема основания многогранника, умноженного на его перпендикулярную высоту, по сравнению с площадью треугольника, равной 1/2 длины основания, умноженной на высоту, и объем пирамиды равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.