Как нарисовать спинор: Как нарисовать спиннер

Содержание

Игры для девочек рисовать спиннер и крутить. Игры спиннеры онлайн

Если физические игрушки спиннеры известны давно, и все больше появляется любителей повертеть их в руках, то виртуальная версия родилась относительно недавно. При этом надо заметить, игры спиннер онлайн предлагают больше возможностей для людей азартных.

Классический вариант выглядит в виде трех лопастей, напоминающих пропеллер, закрепленный по центру на подвижный штатив. Если с силой его крутануть, он завертится на доступное количество оборотов.

Простые игровые правила

Обучиться в игры спиннер играть может каждый, и очень быстро. В ней нет ничего такого, что поставило бы в тупик или заставило потратить слишком много времени на изучение правил. Единственное, что нужно — крутить «пропеллер» на максимально доступное количество оборотов.

  • Используя мышку (в редких случаях стрелки), вращайте спиннер вправо или влево. В некоторых игровых вариантах это можно менять специальной кнопкой.
  • Зарабатывайте монетки.
  • Тратьте заработанный баланс на улучшения.

Поскольку версий забавы существует несколько, в каждой могут быть свои улучшения. Среди них возможность поднять количество оборотов на несколько пунктов. Если изначально вращение достигало 10 единиц в шкале, то набрав достаточно монеток и купив повышение, раскручивать лопасти уже можно будет до 12, 20 и выше. А если сложно делать движение, которое позволит выкрутить максимум, предусмотрена масленка. Если есть достаточно монет, почему бы, не потрать их на столь полезную функцию, как легкое скольжение?

С каждым уровнем накапливать очки-монеты все сложнее. Для очередной прокачки их требуется больше. Если вначале достаточно было 20-50 монет, позже уже 100-150, и чем дальше, тем больше. Еще есть возможность менять внешний вид пропеллера, просто нажав на соответствующую кнопку. Никакой пользы это не приносит, просто доставляет визуальное удовольствие. А вот что действительно важно, так это факт, что игры спиннер бесплатно предлагают желающим открыть для себя новое развлечение.

Сказать, что игрушка что-то развивает, нельзя. Она предусмотрена больше для удовольствия, но разве этого мало? Нельзя же каждый шаг направлять только на самосовершенствование. Порой хочется просто отдохнуть, расслабиться, ни о чем не думая и не напрягаясь.

Варианты спиннера

Так как любая тематика предполагает варианты ее реализации, бесплатные игры спиннер тоже готовы предложить несколько. Одни по мере накопления монет предусматривают дополнительные улучшения. Другие вообще могут лишь отдаленно напоминать оригинальную игру.

Например, если вариант с шариками, которыми надо стрелять из пушки. Шарики имеют разные оттенки, а на оси в центре экрана вращаются лопасти, состоящие из таких же шариков. Их следует удалить выстрелом снаряда, который должен прикрепиться к группе аналогичного с ним цвета. Если нужная вам группа расположена слишком далеко и не доступна для прямого выстрела, воспользуйтесь рикошетом. Это значит, что можно выстрелить в противоположную стену под определенным углом, и шарик от нее отскочит, прикрепившись к своей группе.

Еще онлайн игры спиннер могут представлять собой поле с разноцветными пузырями, и по типу «три в ряд» их надо двигать, стараясь создать одинаковые цепочки. Так набираются баллы и зарабатываются улучшения.

Любая выбранная забава принесет только радость. Если давно мечтали о подобной игрушке, сделайте так, дабы она всегда была под рукой. А если поделитесь находкой с друзьями, можно устраивать соревнования — кто быстрее достигнет высшего уровня прохождения.

Замечательное антистрессовое развлечение представляют собой игры спиннер. Изначально забава стала популярной в Америке, и в оригинальном варианте ее название звучит как Fidget Spinner. Выглядит прикольный гаджет как своеобразный волчок, к корпусу которого прикреплены крылья, а по центру находится подшипник. Он и приводит лопасти во вращение, наблюдение за которым успокаивает обладателя приспособления. Достаточно ударить по крылышкам, и устройство начнет выписывать круги.

Новые игры Спиннер

Не нашли нужной игры?

Воспользуйтесь поиском по каталогу игр

Фиджет спинер имеет массу разновидностей. Так, есть стальные девайсы, латунные, титановые, медные или пластиковые. Материал, из которого изготавливают вещицу, а также сам подшипник, влияют на продолжительность оборотов необычной юлы, тип вибрации, производимый ею и шумовой эффект. А появилась интересная штуковина во Флориде.

Изобретение крутилки приписывают Кэтрин Хэтингер. В 1993 году она придумала вертушку для своей дочурки, обычные игры с которой были серьезно затруднены из-за миастении. Этот недуг характеризуется тем, что мышцы быстро устают даже от малейшего напряжения. А спиннер помог женщине отвлечь малышку и одновременно обеспечить ей увлекательное занятие. Позднее создательнице удалось продать несколько тысяч приборов, а в 1999-ом ей был выдан патент на любопытную конструкцию.

Практическая польза

Главным преимуществом, которым обладает спиннер, является его способность развивать мелкую моторику пальчиков и увеличивать мануальную чувствительность. Конструкция может применяться как для ежедневных разминочных упражнений, так и как тренажер, если необходимо восстановить прежнюю гибкость кисти вследствие перенесенных травм.

Как отмечает Томас Фрезер, занимающийся вопросами аутизма в ассоциации Autism Speaks, играть со спиннером очень полезно деткам, страдающим от этого заболевания. Механизм помогает расслабиться и унять нервозность.


Конечно, подобные игры не стоит воспринимать как полновесную панацею. Но как инструментарий, использующийся в комплексе терапевтических методик, он потрясающе эффективен. Специалист рекомендует дарить спиннер ребятишкам за успехи в учебе или прочие заслуги.

Избавляемся от стресса

На самом деле, каких-либо научных исследований данные игры не проходили. Поэтому утверждать, что они улучшают концентрацию или позволяют снимать напряжение со стопроцентной уверенностью нельзя. Но большинство психологов соглашаются, что игры спиннер отлично успокаивают пользователей и способствуют переключению внимания.

Может показаться, что незатейливый предмет просто помогает занять руки. К примеру, многим нравится что-то вертеть в пальцах, что часто вызывает недовольство у собеседников. Fidget Spinner – отменная альтернатива раздражающей привычке. Кстати, многие прибегают к такому методу, когда отказываются от курения.

Но среди многочисленных достоинств эти игры отличаются и определенными недостатками. Поскольку деталь небольшая, юные непоседы могут попросту проглотить ее. Дабы избежать такой неприятности, лучше использовать виртуальные вариации вертелки. Тем более, что разработчики создали уйму ярких приложений с захватывающим геймплеем. Пестрый спиннер выделывает на поле умопомрачительные выкрутасы, следить за которыми – сплошное удовольствие.

Пока карапуз увлеченно рассматривает гипнотические фокусы в исполнении красочного гаджета, он не только получается визуальное наслаждение, но и заряжается позитивом.

К тому же игры можно устраивать вместе с приятелями. Попробуйте посоревноваться, у кого получится сделать больше вращений и заграбастать максимум призовых очков. А самые крутые трюки можно заснять на видео, чтобы похвастать своим проворством в сети.

Фиджет спиннеры захлестнули волной весь мир в 2017 году. Это стрессовысвобождающая игрушка появилась в руках на улицах практически у всей молодёжи. Некоторые китайские заводы по производству мобильных телефонов и электроники были вынуждены переключиться на производство спиннеров, чтобы удовлетворить лавинообразный спрос.

Видео про трюки с этими устройствами заполонили YouTube, а теперь вы сможете крутить спиннер онлайн на нашем сайте. Разноцветные, разной формы, с подсветкой, принтами и звуками — спиннеры онлайн имеют огромное разнообразие.

Крути!

Спиннеры стали одной из тех игрушек, которые используются, чтобы занять чем-то руки. Раньше эту роль выполняли йо-йо, кубики Рубика или простые ручки, а также другие предметы, которые можно было вертеть в руках.

Феномен популярности именно спиннеров объясняется широким доступом к информации и информационной сетью вообще, раскинувшейся по всему миру.

Суть же самой игрушки проста — в её центре находится подшипник, а по краям так называемые «крылья» из различных материалов с утяжелителями на конце. Вращение за крыло создаёт эффект кручения, что, в теории, успокаивает пользователя. Теперь можно насладиться спиннерами бесплатно и онлайн .

Игры про спиннеры

Виртуальные версии расслабляющего гаджета сыскали почти ту же популярность, что и он сам. Когда была выпущена первая игра спиннер-онлайн на Андроид, за 2 недели у неё было зарегистрировано 7 миллионов скачек.

Крутить спиннеры в игре вскоре стало так же модно, как и в реальности. Появились разнообразные версии приложений и браузерных игр, включающих различные модели (с двумя, тремя, четырьмя и больше крыльями и даже лезвиями на концах) игрушек, а также дополнительные условия для самой игры. К примеру, в некоторых нужно набрать определённый счёт, зависящий от длительности вращения, но усиливать кручение можно только один или несколько раз.

Бесплатные игры про спиннеры начали воплощать систему улучшений, где полученные очки превращались в монетки, за которые можно было менять само устройство и фон, а также прокачивать геймплей — силу вращения и скольжения подшипника, количество касаний при вращении и прочее.

Выбирайте флешку себе по вкусу и играйте со спиннером онлайн прямо в своём браузере!

Для тех, кто еще не знает Спиннер это антистрессовая безделушка, которая совсем недавно стала безумно популярной сначала в США, а затем и во всем мире. Приспособление выглядит простенько: корпус, закрепленный на подшипниках. Благодаря несложной конструкции, запускается он легко, нужно всего лишь ударить по одному из трех крыльев, и он начинает вращаться. Принцип работы напоминает юлу.

Спиннер — бесплатно онлайн

Играть

Рисуй и Крути

Играть

Спиннер крафт

Играть

Супер спин ио

Играть

Фиджет спиннер

Играть

Светящийся спиннер

Играть

Крутые спиннеры

Играть

Трюки со спиннером

Играть

Fidget Spinner Master

Играть

Спиннер своими руками

Играть

Антистресс спиннер

Играть

Крути спиннер

Спинер представляет собой ручную крутилку, лопасти которой крутятся на подшипниковой основе, расположенной посередине девайса. Такой механизм вертится на протяжении длительного промежутка времени, тем самым оказывая успокоительный эффект пользователю. На сегодняшний день устройство имеет множество видов и изготавливается из разнообразных материалов, от этого зависит продолжительность вращения, уровень шума и тип вибраций.

Руководствуясь невероятным спросом среди миллионов почитателей, разработчики компьютерных развлечений потрудились выпустить целую категорию игр Спиннер. Здесь геймерам предоставляется огромнейший выбор разносортных флешек. Играя, юзеры не только заряжаются позитивом, но и запасаются спокойствием и умиротворением.

Полезная игрушка

Fidget Spinner, именно так звучит на английском полное название гаджета, приносит много пользы. Он развивает мелкую моторику рук и основную чувствительность. Довольно часто игры Спиннер применяют для ежедневной разминки пальцев, для восстановления гибкости после серьезных повреждениях костей.

Некоторые исследователи мирового масштаба говорят, что игры с этим прибором помогают деткам с расстройствами аутичного характера успокоиться. Сложно сказать, что их можно воспринимать как полноценную лекарственную процедуру, но лучшего подарка, чем фингер спиннер для любого ребенка не отыщешь.

Боремся со стрессом

В одном из интервью доктора Медицинского центра при Университете Раша сделали заявление, что исследований, которые бы доказывали повышение концентрации в играх с вертушкой, никогда не проводилось. То есть многие производители и распространители, утверждая о чудодейственных способностях Спиннера, не подкреплены никакими доказательствами.

В то же время психологи сообщают об обратном. Они свидетельствуют, что прокручивая гаджет в пальцах, большинство людей успокаивается. Но с такой миссией вполне справится и любой другой антистресс предмет.

Вопреки разным мнениям, высказанным по этому поводу, количество владельцев чудо штучки возрастает с каждым днем. В первую очередь Фиджет спиннер это наипростейший способ занять руки. Для личностей, пребывающих в постоянном напряжении и стрессе, это превосходный вариант, который не будет столь сильно раздражать окружающих.

Не взирая, на многочисленные преимущества, нашлись и противники Спиннеров, утверждающие об опасности данного продукта. Главная угроза в играх с гаджетами заключается в том, что при поломке детишки могут проглотить детальки. Поэтому следует не давать чересчур малышам играть устройством. Хоть это и сплошная конструкция, при ударе оно распадается на малюсенькие части, которые обычно малютки тянут в ротик.

Заглянув в раздел игр Спиннер, описываемый недостаток полностью исключается, ведь виртуальный объект не способен причинить вред. В приложениях можно перекрасить любимый механизм в понравившийся цвет и наслаждаться за действиями на экране, параллельно выполняя определенные задачи. Запускайте игры и забудьте о повседневных заботах, ведь ничто не доставит вам столько умиротворения как бесперебойно крутящаяся мегапопулярная фишка.

Как самому сделать Спиннер (игрушку), из чего можно его сделать в домашних условиях?

Вариантов изготовления спиннеров очень много.

Количество подшипников, конфигурация и размеры игрушки, может быть разной.

Более того, подшипника (или подшипников) может вообще не быть.

Если самый простой спиннер, то можно его сделать из картона, а осью будет кусок обычного стержня от ручки, или зубочистки.

Нужна пробка от пластиковой бутылки.

Обводим крышку карандашом, нам нужна вот такая заготовка с тремя «лепестками».

То есть одна крышка по центру и две на равноудалённом расстоянии, на финише треугольник, только края округлые.

В зависимости от толщины картона таких заготовок надо сделать штук 5-ь (+-).

Далее работаем клеем-карандашом, ну или обычным ПВА.

Склеиваем заготовки между собой.

По центру склеенных заготовок, шилом, или ножницами делаем отверстие.

Далее нужны круги которую будут держать ось.

Можно взять крышку меньшего диаметра, или монету.

Кружки должны быть плотными, вырезаем четыре круга и склеиваем попарно.

По центру кругов делаем отверстия под ось.

Далее от стержня отрезаем ось (примерная длина, 10-ь мм).

Вставляем ось и сажаем её на клей.

С одной стороны приклеиваем заглушку.

Под осью шайба.

Вторая заглушка на кружки, всё тоже самое (ось на клей, шайба, заглушка из круга без отверстия).

Всё, можно покрасить, или наклеить некие наклейки, спиннер готов.

Вариант с подшипником тоже не сложный.

Можно использовать фанеру.

Очерчиваем равнобедренный треугольник.

Вырезаем его из фанеры.

Угля скругляем, по центру треугольника отверстие.

Далее прикладываем подшипник и очерчиваем его.

Затем перьевым сверлом по дереву делаем отверстие.

Доработать отверстие под подшипник, лучше шарошкой (нужна дрель).

В общем-то всё, фанеру можно покрасить, если не промахнулись с диаметром отверстия, то подшипник плотно «запресовывается» в фанеру, если промахнулись, то сажаем его на клей.

Как сделать игру с прялкой в ​​2022 году (+22 игровых идеи!)

Назовите нас сумасшедшими, но мы не думаем, что есть одинарной случай, который не может быть исправлен прядильное колесо. Уроки? да. Встречи? да. Похороны? Может быть…

Спинерные колеса их любят все за волнение, цвет и звук, которые они приносят, где бы они ни были. Итак, как вы можете сделать игра с вращающимся колесом что заставляет ваших студентов, коллег или участников похорон прыгать от радости?

За 2 простых шага…

Используйте бесплатное онлайн-руль AhaSlides для любой игры с вращающимся колесом. Он даже включает предварительно загруженные игры!

1. Создание спиннера

Независимо от того, хотите ли вы создать игру с вращающимся колесом в автономном режиме или онлайн, есть несколько способов сделать это.

4 способа сделать прялку своими руками

Центр спиннера — это самое интересное, и мы доберемся до него через минуту. Но сначала вам нужно создать свое бумажное колесо. Просто возьмите карандаш и большой лист бумаги или картона.

Если вы выбираете большое колесо (как правило, чем больше, тем лучше), вы можете нарисовать круг вокруг основания горшка с растением или доски для дартса. Если вы хотите меньше, то транспортир подойдет.

Вырежьте круг и разделите его на равные части с помощью линейки. В каждом сегменте напишите или нарисуйте параметры колеса на краю колеса, чтобы ваш счетчик не заслонял вариант, когда он приземляется на него.

  1. Булавка и скрепка (наиболее эффективный способ) – Проденьте булавку через узкий овал скрепки, а затем вставьте ее в центр бумажного или карточного колеса. Убедитесь, что булавка не вставлена ​​полностью, иначе ваша скрепка будет с трудом вращаться!
  2. Fidget spinner (самый интересный способ) — Используйте Blu Tack, чтобы прикрепить спиннер к центру колеса. Используйте хороший комок Blu Tack, чтобы ваша блесна достаточно отрывалась от колеса и могла свободно вращаться. Кроме того, не забудьте отметить одну из трех ветвей спиннера, чтобы было понятно, с какой стороны она указывает.
  3. Карандаш сквозь бумагу (Самый простой способ) – Это не может быть проще. Просто проткните центр колеса карандашом и крутите все это дело. Его могут приготовить даже дети, но результаты могут быть несколько удручающими.
  4. Сложная картонная штуковина (самый увлекательный способ) — Честно говоря, здесь слишком много объяснений. Просто посмотрите это видео.

Как сделать спиннер онлайн

Если вы ищете более удобное и быстрое оборудование для своей игры с вращающимся колесом, есть целый мир онлайн-вращающихся колес, ожидающих своего открытия.

Онлайн-прядильщики, как правило, намного удобнее, проще в использовании и совместном использовании, а также быстрее в настройке …

  1. Выберите свое онлайн-прядильщик.
  2. Заполните свои записи колеса.
  3. Измените свои настройки.

Если вы играете в свою игру с прядильным колесом онлайн, то вам нужно будет поделиться своим экраном через Zoom или другое программное обеспечение для видеовызовов. Как только вы закончите, нажмите «вращать», играйте в свою игру и осыпайте своего победителя виртуальным конфетти!

DIY Spinner Wheel против онлайн-прядильщика

Плюсы спиннера своими руками ✓ Минусы спиннера своими руками ✗
Весело создавать Больше усилий, чтобы сделать
Полностью настраиваемый Не легко редактировать
Может использоваться только в физическом пространстве
Необходимо продублировать вручную
Онлайн Спиннер Плюсы ✓ Минусы онлайн-спиннера ✗
Создать за секунды Сложно настроить внешний вид
Легко редактировать Не 100% защита от ошибок
Работает для виртуальных тусовок и уроков
Поставляется со встроенными звуками и празднованиями
Можно продублировать в один клик
Можно встраивать в презентации
Игроки могут присоединиться на своих телефонах

2.

Выбор игры

Когда ваше вращающееся колесо настроено, следующим шагом в создании игры с вращающимся колесом является установление правил игры, в которую вы будете играть.

Борьба за идеи? Взгляните на список 22 игры с вращающимся колесом ниже!

Для школы

🏫 Как сделать игру с вращающимся колесом, чтобы ученики были активными и увлеченными вашими уроками…

  1. Селектор студентов — Заполните колесо именами учеников и крутите. Тот, на кого он приземлится, должен ответить на вопрос.
  2. Колесо выбора букв – Вращайте колесо с буквами и попросите учеников назвать животное, страну, стихию и т. д., начиная с буквы, на которой остановилось колесо.
  3. Денежное колесо — Заполните колесо различными суммами денег. Каждый правильный ответ на вопрос приносит этому студенту вращение и шанс собрать деньги. Студент с наибольшим количеством денег в конце выигрывает.
  4. Ответить на лотерею – За каждый правильный ответ учащийся получает случайное число от 1 до 100 (учащиеся могут собирать несколько чисел). Как только все числа выданы, вращайте колесо, содержащее числа от 1 до 100. Победителем становится обладатель номера, на котором останавливается колесо.
  5. Разыграй это — Напишите на колесе несколько коротких сценариев и распределите учащихся по группам. Каждая группа вращает колесо, получает случайный сценарий, а затем планирует свое действие.
  6. Не говори это! — Наполните колесо ключевыми словами и раскрутите его. Когда выбрано ключевое слово, попросите учащегося в течение минуты поговорить о теме. без используя ключевое слово.
  7. Минутное вращение – Заполните колесо вопросами. Дайте каждому ученику 1 минуту, чтобы он покрутил колесо и ответил на как можно больше вопросов.
Колесо денег никогда не перестает волновать студентов.

Для встреч

🏢 Как сделать игру с прядильщиком, чтобы подключать удаленных сотрудников и продуктивно проводить встречи…

  1. Ледоколы – Разложите несколько ледокольных вопросов на колесе и крутитесь. Это лучше всего подходит для удаленных сотрудников, которым необходимо оставаться на связи друг с другом.
  2. Призовое колесо — Сотрудник месяца крутит колесо и выигрывает на нем один из призов.
  3. Повестка дня встречи — Заполните колесо пунктами из повестки дня встречи. Покрутите его, чтобы увидеть, в каком порядке вы будете их всех решать.
  4. Удаленный мусорщик — Заполните колесо немного причудливыми предметами из среднего дома. Вращайте колесо и посмотрите, кто из ваших удаленных сотрудников быстрее всех найдет его в своем доме.
  5. Дамп мозгового штурма — Напишите разные задачи на каждом сегменте колеса. Крутите колесо и дайте своей команде 2 минуты, чтобы выгрузить все безумные и дурацкие идеи, которые они могут. (Вы не поверите, но это на самом деле эффективная техника мозгового штурма!)

Для вечеринок

🎉 Как сделать игру с вращающимся колесом для веселых встреч, как онлайн, так и офлайн…

  1. Магия 8-Ball — Заполните колесо своими собственными волшебными ответами в стиле восьмерки. Попросите посетителей вашей вечеринки задавать вопросы и вращаться, чтобы получить ответ.
  2. Истина или смелость — Напишите на колесе «Правда» или «Действие». Или вы можете написать конкретный Истина или смелость вопросы по каждому сегменту.
  3. Огненное кольцо — Не хватает игральных карт? Заполните колесо числами от 1 до 10, а также тузом, валетом, дамой и королем. Каждый игрок вращает колесо, затем делает действие в зависимости от числа, на котором остановилось колесо.
  4. Никогда я никогда — Заполнить колесо Никогда я никогда вопросы стиля. Задайте вопрос, на который приземляется колесо. Если игрок сделал 3 вещи, на которые останавливается колесо, он выбывает из игры.
  5. Колесо Фортуны — Классическая игра-шоу на маленьком экране. Поместите разное количество долларовых вознаграждений (или штрафов) в колесо, заставьте игроков вращаться, а затем заставьте их предлагать буквы в скрытой фразе или заголовке. Если буква внутри, игрок получает награду в долларах.

Для нерешительных людей

🤔 Как сделать игру с вращающимся колесом для людей, которые просто не могут принять решение…

  1. Да или нет — Действительно простой человек, принимающий решения, который играет роль подброшенной монеты. Просто заполните колесо Да и нет сегменты.
  2. Что на ужин? — Если вам удастся сделать игру с вращающимся колесом, когда вы голодны, то заполните колесо различными вариантами еды из вашего района, а затем вращайте!
  3. Новые занятия – Никогда не легко понять, что делать, когда наступает суббота. Заполните колесо новыми действиями, которые вам интересны, а затем поверните, чтобы узнать, какое из них будете делать вы и ваши друзья.
  4. Колесо упражнений — Оставайтесь здоровыми с колесом, которое дает вам возможность выполнять короткие упражнения. Одно вращение в день убережет доктора!
  5. Рулевое колесо — Один для родителей. Наполни колесо делами и заставь своих детей крутить его. Пора им заработать себе на жизнь!

Впустите игроков.

Игроки присоединяются со своими телефонами, вводят свои имена и наблюдают за вращением колеса в прямом эфире! Идеально подходит для урока, встречи или семинара.

Возьмите это на (бесплатное) вращение!

Советы по игре Ultimate Spinner Wheel

  • Создайте саспенс — Большая часть привлекательности прялки — это неизвестность. Никто не знает, где он приземлится, и это все часть ажиотажа. Вы можете поднять это, используя колесо с цвет, звук и тот, который замедляется, как настоящее колесо.
  • Будьте кратки – Не перегружайте колесо текстом. Сделайте его как можно короче, чтобы он был легко понятен.
  • Пусть игроки крутятся — Если вы сами крутите колесо, это все равно, что подарить кому-то праздничный торт и самому взять первый кусок. По возможности позвольте игрокам крутить колесо!

Как сделать спиннер

Содержание статьи:

Конструкция спиннера была придумана учёным Кэтрин Хэттингер в 1990 году в Израиле. В основе его создания лежала задумка, по снижению агрессии.

Спиннер в домашних условиях изготовить очень просто. Он улучшает моторику рук, помогает снять накопившийся стресс или убрать раздражительность. Для этого необходимо всего-навсего покрутить игрушку в течение десяти минут. А модный спиннер, сделанный своими руками, удивит ваших друзей своим внешним видом. Учёные доказали, что такая игрушка эффективно помогает в борьбе с курением или алкоголизмом.

Для создания спиннера в домашних условиях, необходимо знать и понимать принцип его работы, а также некоторые особенности.

В состав спиннера входит:

  1. Подшипник.
  2. Корпус.
  3. Заглушек.

Центр игрушки необходимо удерживать большим и указательным пальцам. Это необходимо для обеспечения равномерного вращения. От используемого материала, при изготовлении, и подшипника, будет зависеть скорость и конечно же время вращения. Вертушка приводится в действие рукой. При выборе подшипников для спиннера, необходимо учесть материал изготовления вертушки и её размер.

Бумажный спиннер

Спиннер из бумаги — это самая простая игрушка, которую все в состоянии сделать в домашних условиях. Для этого нам понадобится четыре вкладыша, листы бумаги, картон и конечно же клей. Для начала вам необходимо нарисовать пять чертежей вертушки. А при помощи ножниц или канцелярского ножа нужно аккуратно вырезать вертушки. Также следует учесть, что диаметр отверстий должен быть немного меньше диаметра вкладыша. После этого, все наши заготовки склеиваем, при этом клея не нужно жалеть, он предаст вертушке прочность. Следующий этап — покраска. Красим вертушку в любой понравившейся вам цвет и ждём пока она высохнет. Вот и всё, наша вертушка практически готова, осталось только вставить вкладыши и подшипник. Спиннер готов к использованию.

Деревянный спиннер

Для изготовления вам понадобятся навыки использования дрели и электрического лобзика. Вам необходимо выбрать древесину для вашей будущей заготовки. Обычно использую древесину дуба, она является самой прочной. Для новичков лучше всего пройти тренировки на фанере, а затем уже приступать к работам на дереве.

На доске древесины нарисуйте необходимый чертеж. Чтобы облегчить сам процесс, чертеж можно нарисовать сначала на бумаге, а потом его обвести на древесине. После этого выпиливаем спиннер, при помощи лобзика, и отшлифовываем кроя изделия наждачной бумагой. Все отверстия в изделии желательно делать очень тонким сверлом, это обеспечит точность высверливания отверстий. Диаметр отверстия должен точно соответствовать диаметру подшипника.

Светящиеся спиннер

Если вы решили сделать светящийся спиннер, для этого вам понадобится:

  1. Спиннер, изготовленный из пластмассы или древесины.
  2. Оргстекло или колпачки с люминофором.

Сам спиннер изготавливается по методике, которая была указана ранее, но только есть одна особенность, отверстие должно быть больше на семь миллиметров чем диаметр подшипника. Это необходимо для размещения между каркасом спиннера и подшипника стеклянного вкладыша. Торец заготовки необходимо проклеить при помощи эпоксидной смолы.

А сейчас приступим к самому люминофору. Оно является химическим веществом, которое после длительного нахождения на свету, может светиться в тёмных помещениях. Приобрести такое вещество можно в любом магазине, в котором продаются химические вещества. После покупки вам необходимо будет по инструкции сделать раствор. Приготовленный раствор заливаем, при помощи шприца, в оргстекло или колбочки. Если будут использоваться последние элементы, то их необходимо будет закупоривать, для этого можно воспользоваться эпоксидной смолой. Этой же смолой крепим колбы к центральной части спиннера. Даём всей конструкции хорошенько просохнуть, примерно двадцать четыре часа, и можно приступать к использованию светящегося спиннера.

Спиннер из крышек

Для этого нам понадобится три или четыре крышки, все зависит какой вы хотите сделать спиннер. Можно сделать с двумя или тремя вертушками. Но мы сделаем с двумя и для этого нам понадобится три крышки от пластмассовых бутылок. Берём две крышки и склеиваем их между собой клеем, при этом посыпая солью. Она нужна для создания крепкого соединения между крышками и быстрого засыхания клея. Таким же образом приклеивается третья пробка. Далее в центральной крышке делаем маленькое отверстие диаметром шила. Отрезаем полтора сантиметра стержня от шариковой ручки и вставляем в отверстие нашу заготовку. Вот и все, спиннер готов к использованию.

Вертушка из конструктора лего

Данная игрушка, хорошо подходит для детей, и они могут её с лёгкостью собрать. Для сборки задуманной конструкции понадобится:

  1. Один прямоугольник, который имеет семь отверстий.
  2. Одна палочка с двумя ограничителями.
  3. Две круглые, маленькие детальки с отверстиями.
  4. 4 маленьких прямоугольников.
  5. 8 больших прямоугольников или полукругов, которые будут установлены в качестве лопастей.

И так, приступим непосредственно к самой сборке. Палочку устанавливаем в отверстие и фиксируем её в этом положении, при помощи ограничителей. На них крепим круглые элементы. Благодаря дырочкам на прямоугольнике, крепким половинки кружков и на них крепим сверху маленькие прямоугольники. Спиннер из лего готов.

Трюки

С марта этого года, на сайтах начало появляться видео, на котором было заснято трюки. Самым простым движением является перебрасывание с одной руки на другую. При этом спиннер не должен потерять свою скорость вращения. Следующим уровнем является перебрасывание спиннера с руки на руку через ногу без остановки вертушки.

https://www.youtube.com/watch?v=bf2MZUAGe5k

Спиннер не имеется на прилавках обычного магазина. Его можно заказать в интернет-магазинах. Также игрушку можно найти в объявлениях, но только у неё будет состояние б/у.

Spinor — обзор | Темы ScienceDirect

§57. Волновые функции частиц с произвольным спином

Разработав формальную алгебру для спиноров любого ранга, мы можем теперь обратиться к нашей непосредственной задаче — изучению свойств волновых функций частиц с произвольным спином.

К этому вопросу удобно подойти, рассмотрев совокупность частиц со спином 12. Наибольшее возможное значение z -компонента полного спина равно 12n, что получается при sz=12 для каждой частицы (т.е. все спины направлены одинаково, вдоль оси z ). В этом случае мы, очевидно, можем сказать, что полный спин S системы также равен 12n.

Все компоненты волновой функции ψ(σ 1 , σ 2 , …, σ n ) системы частиц тогда равны нулю, за исключением ψ(12,12,…12) . Если мы запишем волновую функцию в виде произведения n спиноров ψ λ ϕ μ …, каждый из которых относится к одной из частиц, то только компонента с λ, μ, … = 1 в каждом спиноре не является нуль. Таким образом, только произведение ψ 1 ϕ 1 … не равно нулю. Однако множество всех этих произведений есть спинор ранга n , симметричный по всем своим индексам. Если преобразовать систему координат (так, чтобы спины не были направлены вдоль оси z ), то мы получим спинор ранга n , общий по форме, но по-прежнему симметричный.

Спиновые свойства волновых функций, являющиеся по существу их свойствами по отношению к вращениям системы координат, идентичны для частицы со спином s и для системы n = 2 s частиц каждая со спином 12 направлены так, что полный спин системы равен с .Отсюда заключаем, что волновая функция частицы со спином s является симметричным спинором ранга n = 2 s .

Легко видеть, что число независимых компонент симметричного спинора ранга 2 s равно 2 s + 1, как и должно быть. Ведь одинаковы все компоненты, индексы которых включают 2 s единиц и 0 двоек; то же самое и со всеми, у которых 2 s − 1 единицы и 1 двойка, и так далее до 0 единиц и 2 s двоек.

Математически симметричные спиноры дают классификацию возможных типов преобразования величин при повороте системы координат. Если имеется 2 s + 1 различных величин, которые линейно переходят друг в друга (и число которых не может быть уменьшено никаким выбором их линейных комбинаций), то мы можем утверждать, что их закон преобразования эквивалентен закону преобразования компоненты симметричного спинора ранга 2 s .Любой набор из любого числа функций, которые линейно переходят друг в друга при повороте системы координат, может быть сведен (подходящим линейным преобразованием) к одному или нескольким симметричным спинорам.†

Таким образом, ранга n можно привести к симметричным спинорам рангов n, n − 2, n − 4, …. На практике такое сокращение можно осуществить следующим образом. Симметризируя спинор ψ λµν … по всем его индексам, мы образуем симметричный спинор того же ранга n .Далее, стягивая исходный спинор ψ λµν … по различным парам индексов, получаем спиноры ранга n − 2 вида ψ λ ψν …, которые, в свою очередь, симметризуем , так что получаются симметричные спиноры ранга n − 2. Симметризируя спиноры, полученные сжатием ψ λµ … по двум парам индексов, мы получаем симметричные спиноры ранга n − 4 и так далее.

Нам еще предстоит установить связь между компонентами симметричного спинора ранга 2 s и 2 s + 1 функциями ψ(σ), где σ = s, s − 1, …, − с .Компонента

ψ11⋯1s+σ22⋯2s-σ,

, в индексах которой 1 встречается с + σ раз и 2 с − σ раз, соответствует значению σ проекции спина на z -ось. Действительно, если мы снова рассмотрим систему из n = 2 s частиц со спином 12 вместо одной частицы со спином s , то указанной компоненте соответствует произведение ψ1ϕ1…s+σχ2ρ2…s−σ; это произведение принадлежит состоянию, в котором s + σ частиц имеют проекцию спина, равную 12, а s − σ проекцию −12, так что общая проекция равна 12(s+σ)−12 (s−σ)=σ.Наконец, коэффициент пропорциональности между указанной компонентой спинора и ψ(σ) выбирается таким образом, что уравнение ψλμ…|2

выполняется; эта сумма является скаляром, как и должно быть, поскольку она определяет вероятность нахождения частицы в данной точке пространства. В сумме справа компоненты с индексами ( s + σ) 1 встречаются

(2s)!(s+σ)!(s-σ)!

раза. Отсюда ясно, что связь между функциями ψ(σ) и компонентами спинора дается формулой

(57.2)ψ(σ)=√[(2s)!(s+σ)!(s-σ)!]ψ11…1s+σ22…2s-σ.

Соотношение (57.2) обеспечивает выполнение не только условия (57.1), но и, как легко видеть, более общего условия

(57.3)ψλµ…ϕλµ…=Σσ(-1)8-σψ (σ)ϕ(-σ),

, где ψ λµ ··· и ϕ λµ … — два разных спинора одного ранга, а ψ(σ), ϕ(σ) — производные от этих спиноров функции по формуле (57.2); множитель (−1) s обусловлен тем, что при возведении всех индексов спинорных компонент знак меняется столько раз, сколько двоек среди индексов.

Формулы (55.5) определяют результат действия оператора спина на волновые функции ψ(σ). Нетрудно выяснить, как эти операторы действуют на волновую функцию, записанную в виде спинора ранга 2 s . Для спина 12 функции ψ(12), ψ(−12) совпадают с компонентами ψ 1 , ψ 2 спинора. Согласно (55.6) и (55.7), результатом действия на них спиновых операторов будет sˆxψ)2=12ψ1,(sˆyψ)2=12iψ1,(sˆzψ)2=-12ψ2.}

Чтобы перейти к общему случаю произвольного спина, снова рассмотрим систему из 2 s частиц со спином 12 и запишем ее волновую функцию как произведение 2 s спиноров. Спиновый оператор системы представляет собой сумму спиновых операторов каждой частицы, действующих только на соответствующий спинор, причем результат этого действия определяется формулами (57.4). Далее, возвращаясь к произвольным симметричным спинорам, т. е. к волновым функциям частицы со спином s , получаем

(57.5)(sˆxψ)11…s+σ22…s-σ=12(s+σ)ψ11…s+σ-122…s-σ+1+12(s-σ)ψ11…s+σ+122…s -σ-1,(sˆyψ)11…s+σ22…s-σ=-12i(s+σ)ψ11…s+σ-122…s-σ+1+12i(s-σ)ψ11…s+σ +122…s-σ-1,(sˆzψ)11…s+σ22…s-σ=σψ11…s+σ22…s-σ.}

До сих пор мы говорили о спинорах как о волновых функциях собственного углового момента элементарные частицы. Однако формально нет разницы между спином отдельной частицы и полным угловым моментом любой системы, рассматриваемой как единое целое, без учета ее внутренней структуры. Таким образом, очевидно, что трансформационные свойства спиноров в равной степени применимы к поведению относительно вращений в пространстве волновых функций ψ jm любой частицы или системы частиц с полным угловым моментом j , независимо от речь идет об орбитальном или спиновом угловом моменте.Поэтому должна существовать определенная связь между законами преобразования собственных функций ψ jm при поворотах системы координат и компонент симметричного спинора второго ранга j .

При установлении этого соотношения мы должны, однако, четко различать два аспекта зависимости волновых функций от компоненты m (при заданном значении j ). Волновую функцию можно рассматривать как амплитуду вероятности для различных значений м или можно рассматривать для заданного значения м .z, что соответствует s z = σ 0 . Математическая разница между ними особенно очевидна для частицы со спином s=12. В этом случае спиновая функция является по переменной σ контравариантным спинором ранга 1, т. е. должна быть записана в спинорной записи как δ σ σ 0 . Таким образом, относительно σ 0 это ковариантный спинор.

Очевидно, это общий результат: собственным функциям ψ jm можно поставить в соответствие компоненты ковариантного симметричного спинора ранга 2 j с помощью формул, аналогичных (57.2):†

(57,6)ψjm=√(2j)!(j+m)!(j-m)!ψ11…j+m22…j-m.

Собственные функции интегрального углового момента j являются сферическими гармониками Y jm . Случай j = 1 имеет особое значение. Три сферические гармоники Y 1 m равны где n — единичный вектор вдоль радиус-вектора. Видно, что эти три функции эквивалентны по свойствам преобразования компонентам вектора a с соотношениями

(57. 7)ψ10=iaz,ψ11=-i√2(ax+iay),ψ1,-1=i√2(ax-iay).

Сравнивая с (57.6), видим, что компонентам симметричного спинора второго ранга можно поставить в соответствие компоненты вектора по формулам

(57.8)ψ12=i√2az,ψ11=-i√ 2(ax+iay),ψ22=i√2(ax-iay),

(57,9)ψ12=-i√2az,ψ11=i√2(ax-iay),ψ22=-i√2(ax+ иай).

Обратно

(57.10)az=i√2ψ12,ax=i√2(ψ22-ψ11),ay=1√2(ψ11+ψ22).

Легко проверить, что с этими определениями мы имеем

(57.записываются как верхний и нижний индексы в соответствии с положением спинорных индексов в ψ λ μ . Происхождение этой формулы легко понять, если рассмотреть частный случай, когда спинор второго ранга ψ λ μ сводится к произведению спинора первого ранга ψ μ и его комплексно-сопряженного ψ λ∗ . Тогда величина 12ψλ∗σλµψµ является средним значением спина (для частицы с волновой функцией ψ µ ) и поэтому, очевидно, является вектором.

Соотношения (57. 8) или (57.9) являются частным случаем общего правила: любому симметричному спинору четного ранга 2 j , где j целое, можно сопоставить симметричный тензор половинного ранга ( j ), что дает нуль при свертывании по любой паре индексов; мы называем это неприводимым тензором.

Это следует из того, что число независимых компонент спинора и тензора одинаково (2 j + 1), как легко видеть.λµ, определение (57.4) можно записать в виде

sˆλµψν=i2√2(ψλgµν+ψµgλν).

Задача 2. Вывести формулы, определяющие влияние оператора спина на векторную волновую функцию частицы со спином 1.

Решение. Связь между компонентами вектор-функции Ψ и компонентами спинора ψ λµ задается формулами (57.9), а из (57.5) имеем

sˆzψ+=-ψ+,sˆzψ-=ψ-, szψz = 0

(где ψ ± = ψ ± x ± I y y ) или

szψx = -iψy, szψy = iψx, szψz = 0.

Остальные формулы получаются из них циклической перестановкой суффиксов x, y, z . Вместе они могут быть записаны как

sˆiψk=-ieiklψl.

Комплексный вектор Ψ можно представить в виде Ψ = e ( u + i v ), где u и v 905 являются действительными векторами, быть взаимно перпендикулярными, если подходящим образом выбрана общая фаза α. Два вектора u и v определяют плоскость, обладающую тем свойством, что перпендикулярная ей компонента спина может принимать только значения ± 1.

Математика — Спинор — Мартин Бейкер

Спиноры могут представлять вращения в ‘n’ измерениях. У него есть несколько интересных свойств:

  • Он может представлять обычные повороты (которые возвращаются в исходное положение после поворота на 360°) с использованием «сэндвич-продукта»: p 2 = R p 1 R -1 .
  • Он может представлять вращение частиц (которые возвращаются в исходное положение после поворота на 720°) с помощью какого-либо другого продукта.
  • Его можно представить четными подалгебрами алгебр Клиффорда.
  • Может быть представлено матрицами Паули
  • Это группа Ли.

История

Когда мы читаем о столь различных предметах, как квантовая механика, математика вращения, теория групп и т. д., мы часто сталкиваемся с термином «спинор». Спиноры, похоже, были открыты независимо друг от друга физиками (Дирак) и математиками (Родригес, а также Картан), поэтому особенно сложно дать определение.

Работая над квантовой теорией, Дирак обнаружил, что ему нужно извлечь квадратный корень из вектора, и он обнаружил, что это дает спиноры.Это должно быть сделано в алгебре, где произведения (и, следовательно, квадраты) векторов имеют смысл (см. Алгебра Клиффорда)

Обычные вращения

Мы можем представить вращения в любом количестве измерений, используя произведение «сэндвич»: p 2 = R p 1 R -1

где:

  • p 1 = точка вектора перед вращением
  • p 2 = точка вектора после поворота
  • R = спинор, представляющий вращение
  • R -1 = инверсия спинора, представляющая вращение

примечание: каждое вращение может быть представлено двумя спинорами (R и -R), которые в данном случае представляют одно и то же вращение.

Вращение частиц

Из-за искривления времени и пространства при высоких скоростях вращения (см. эту страницу) частица не возвращается в исходное состояние, пока не совершит поворот на 720°.

Спинор превращается в минус, когда он делает вращение на 360 °.

Короткая точная последовательность

Спин-группа появляется в следующей короткой точной последовательности:

1 -> Z 2 -> Spin(n) -> SO(n) -> 1

Определения:

  • «Короткая точная последовательность» — это последовательность алгебраических структур и морфизмов между ними, такая, что образ одного морфизма равен ядру следующего.Дальнейшее объяснение на этой странице.
  • Z 2 — целые числа по модулю 2 = {0,1}
  • Spin(n) — группа спинов в n измерениях
  • SO(n) равно
  • -> является морфизмом между группами

Обратите внимание, что существует отображение 1:2 между 1 и Z 2 , а также отображение 2:1 между Spin(n) и SO(n).

Чтобы попытаться понять это, я попытался вычислить изображение и ядро ​​​​для трехмерных вращений, представленных единичным кватернионом ‘q’, работая над этим ниже. Я думаю, что сделал его подходящим для определения:

кер (1 -> {0,1}) = 1
им (1 -> {0,1}) = {0,1}
кер ({0,1} -> q ) = {0,1}
им ({0,1} -> q ) = {q,-q}
ker (q -> {q, -q}) = {q, -q}
im (q -> {q, -q}) = {1 + 0 i + 0 j + 0k, -1 — 0 i — 0 j — 0k}
ker ({q, -q} -> 1) = {1 + 0 i + 0 j + 0k, -1 — 0 i — 0 j — 0k}
им ({q,-q} -> 1) = 1

Четные подалгебры алгебр Клиффорда

Спиноры могут быть математически представлены алгебрами Эвена Клиффорда, я пытался это доказать (здесь).

Спиноры и теория групп

В теории групп существует тип группы Spin(n), в которой есть элементы, известные как спиноров, являющееся двойным накрытием специальной ортогональной группы SO(n).

Группа лжи имеет набор параметров, которые непрерывно отображаются в топологическую пространство (многообразие). Термин «двойное покрытие» означает, что это представляет собой отображение 2:1, т. е. есть 2 разных значения параметра, которые сопоставляются с одним и тем же топологическая позиция.

Существуют некоторые ограничения на это, использование таких слов, как «нетривиальная метрическая подпись», которые я не понимаю, я думаю, они там, чтобы устранить некоторые особый случай?

Есть некоторые «случайные изоморфы» при малых размерностях.То есть некоторые группы, хотя и не строго определенные как спиновые группы, по совпадению обладают одинаковыми свойствами при низких размеры:

  • Спин(1) = О(1)
  • Спин(2) = U(1)
  • Спин(3) = Sp(1) = SU(2)
  • Спин(4) = Sp(1) x Sp(1)
  • Спин(5) = Сп(2)
  • Спин(6) = ВП(4)

«Есть некоторые следы этих изоморфизмы, оставшиеся для n = 7,8. Для более высоких n эти изоморфизмы полностью исчезают.»

Предполагая, что SO(n) является единственным покрытием с теми же параметрами, тогда разумно, что для одного оборота SO (n) Spin (n) будет повернуть дважды за каждый оборот SO (n)?

Таким образом, хотя это отображение вращений 2:1 не является определения спиноров, это, по-видимому, фундаментальное свойство, которое очень тесно связаны с определением?

Другие определения:

Теория групп: «Линейное пространство, на которое действует в одностороннем порядке роторами образует несущее пространство для спина представление группы вращения. Элементы такого пространства обычно называют спиноры»

Геометрическая алгебра: «четные мультивекторы»

«Связь между векторами и спинорами сохраняется в 3, 4, 6 и 10 измерениях (на одно больше, чем измерения R , C , Q и O , что дает следующие изоморфизмы:

SL(2, R ) ≡SO(2,1)
SL(2, C ) ≡SO(2,3)
SL(2, Q ) ≡SO(2,5)
SL(2, O ) ≡SO(2,9)»

где:

  • SL(n, F) = Специальная линейная группа, состоящая из матриц размера n×n, где каждый элемент имеет тип F с определителем =1.
  • SO(n,R) = подгруппа E+(n), ​​состоящая из прямых изометрий, т. е. изометрий, сохраняющих ориентацию; он содержит те, которые оставляют начало координат фиксированным. Это группа вращения сферы и всех объектов со сферической симметрией, если начало координат выбрано в центре. Каждая ортогональная матрица имеет определитель либо 1, либо −1. Ортогональные матрицы размера n на n с определителем 1 образуют нормальную подгруппу O (n, F), известную как специальная ортогональная группа SO (n, F).

Если SO(p,q) определяется двумя числами, то я думаю, что это ортогональная группа для любой симметричной квадратичной формы Q с матричной сигнатурой (p,q).Группа матриц A, сохраняющих Q, обозначается O(p,q). Группа Лоренца равна O(3,1).

Спиноры

Я прихожу к выводу, что главное О спинорах то, как они встречаются в разных измерениях. я постараюсь объясните причину этого:

Мне кажется, что есть 2 способа, которыми «алгебры» изменение с разным количеством размеров:

  1. родственные алгебры, такие как комплексные числа, кватернионы и октонионы (2,4 и 8 измерений).
  2. ‘группы’, которые представляют одно и то же в различные измерения, такие как спиноры.

Второй тип — это такие вещи, как группа вращения который представляет вращение в любом количестве измерений. Спиноры представляет собой двойное покрытие вращения в любом количестве измерений. Эти «группы» (я не уверен, что использую правильную терминологию) не имеют собственной алгебры, поэтому, если мы хотим использовать спиноры в данной число измерений, которое мы должны сопоставить с алгеброй из первый тип.

какой тип su(1),su(2),su(3)… ?

Например, если мы хотим использовать спиноры в 3D, мы можем используйте либо:

  • кватернионов.
  • подмножество матриц 2×2, содержащих комплексные числа (матрицы Паули).

Оба полностью представляют (эквивалентны) спиноры в 3D.

Если я прав насчет всего этого, то причина вся работа над этим имеет тенденцию быть абстрактными понятиями, а не интуитивных идей, заключается в том, что наша человеческая интуиция не работает в 4 или больше измерений (есть некоторые проблемы с вращением в 3 измерениях).

Так что насчет двух измерений? Означает ли понятие спиноры встречаются в двух измерениях? Конечно, это не может произойти в 1 измерении потому что нет вращений в 1 измерении.

Внешне это выглядит как расширение кватернионов способ, которым комплексные числа представляют повороты, но я не думаю, Вращение кватерниона — это расширение представления комплексных чисел. вращения, они совершенно разные. Я думаю, это просто совпадение, что они оба представляют вращения.(если это правильно использовать слово «совпадение» в математике). Например:

  • Два измерения в комплексных числах (вещественное и воображаемый) может представлять координаты вращаемых объектов. Четыре измерения кватернионов не имеют прямого отношения к 3 измерения вращающихся объектов.
  • В комплексных числах чередование выполняется с помощью комплексного экспонента, в кватернионах это делается с помощью «бутерброда» умножение.
  • В комплексных числах «i» представляет 90 градусов вращение, в кватернионах «i» представляет вращение на 180 градусов.

Спинорная алгебра

В этом разделе делается попытка определить спиноры в терминах геометрической алгебры.

Если мы работаем исключительно в 3D, то я думаю, что следующие изоморфны:

  • спинорная алгебра
  • кватернионы
  • скаляр+бивектор, сгенерированный 3D-векторами, квадрат которых равен +ve.
  • четных оценок, сгенерированных 3D-векторами, квадрат которых равен +ve.

Книга Лунесто (см. книжный магазин внизу этой страницы) рассказывает о Spin(n)
и я думаю, что здесь и в других местах ясно, что идея спиноров есть что-то
. это видно независимо от количества измерений, в которых мы работаем — и это
важно для концепции, иначе мы могли бы также назвать их кватернионами
вместо спиноров.

Применимы ли какие-либо из приведенных выше эквивалентностей, если мы работаем с числом измерений выше 3 или если некоторые из измерений скорее времениподобны, чем пространственноподобны? Если мы обнаружим, что определение спиноров примерно такое: «двойное покрытие чего-то, связанного с конечным вращением», тогда может оказаться, что фактические вовлеченные степени будут различаться в зависимости от количества измерений и того, чему они соответствуют?

Одним из возможных определений может быть скаляр + бивектор.

  • В 2 измерениях, если базисные векторы равны e1 и e2, тогда бивектор будет иметь 1 измерение e1e2 (есть 1 комбинация 2 из 2).
  • В 3-х измерениях, если базисными векторами являются e1, e2 и e3, то бивектор будет иметь 3 измерения e1e2, e2e3 и e3e1 (есть 3 комбинации 2 из 3).
  • В 4-х измерениях, если базисные векторы e1, e2, e3 и e4, то бивектор будет иметь 6 измерений e1e2, e2e3, e3e1, e1e4, e2e4 и e3e4 (существует 6 комбинаций 2 из 4).

Итак, если мы определим спинор как скаляр + бивектор, то

  • В 2-х измерениях спинор будет иметь 1+1=2 измерения, которые будут иметь алгебру, изоморфную комплексным числам.
  • В 3-х измерениях спинор будет иметь 1+3=4 измерения, которые будут иметь алгебру, изоморфную кватернионам.
  • В 4-х измерениях спинор будет иметь 1+6=7 измерений, которые будут иметь незамкнутую алгебру (очень запутанную).

Если вместо этого мы определим спинор как четную подалгебру геометрической алгебры G+(n,0). Тогда двух- и трехмерные случаи будут такими же, как и выше, но для четырехмерного случая будет дополнительный псевдоскалярный член, который дает 1 + 6 + 1 = 8 измерений, что дает замкнутую, но не ассоциативную алгебру.

Я не знаю, изоморфна ли эта алгебра октонионам? Это было бы слишком хорошо, чтобы быть правдой. Я подозреваю, что если бы спиноры и октонионы были изоморфны в 4D, мы бы слышали об этом раньше.

Представьте, что у нас есть функция, которая изменяется в зависимости от угла, скажем, тета, и тета может вращаться на 360 градусов, как показано здесь:

Теперь представьте, что мы вводим второй угол, скажем, гамма, как показано ниже.Эти углы связаны соотношением тета = 2 * гамма.

Образует «ленту Мебиуса». Свойство ленты Мёбиуса состоит в том, что если начать ходьба в любой точке:

Пройдя полные 360 градусов, вы теперь на другой стороне (перевернутый).

Кватернионы примеры изоморфны спинорам в 3-х измерениях. Например, кватернион «i» представляет поворот на 180 градусов вокруг оси х. Таким образом, i * i = -1 представляет собой вращение на 360 градусов вокруг оси x.

Здесь используется матрица, элементами которой являются комплексные числа, сгенерированные матрицами Паули.

Спиноры обеспечивают средства для представления вращений в «n» измерениях и были первыми определяется физиками, работающими над квантовой механикой.

Например, спиноры в четырехмерном пространстве встречаются в уравнениях Дирака для волновые функции электрона.

Управляемое создание сингулярного спинорного вихря путем обхода трюка с поясом Дирака

Теоретические основы

Макроскопическая волновая функция БЭК со спином 1 может быть записана в терминах атомной плотности n и трехкомпонентного спинора ζ как \ (\ Psi ({\ mathbf {r}}, t) = \ sqrt {n ({\ mathbf {r}}, t)} \ zeta ({\ mathbf {r}}, t) \) .2\frac{\beta}{2}}\end{array}}\right),$$

(1)

, который можно получить, применив трехмерное вращение спина U ( α , β , γ ) к репрезентативному FM спинору (1, 0, 0) T . Таким образом, любой спинор FM полностью определяется тремя углами Эйлера α , β и γ , соответствующими группе вращений в трех измерениях, SO (3). Как следствие, любое ФМ-состояние может быть представлено ориентацией векторной триады, определяемой вектором спина конденсата \(\langle {\hat{\mathbf{F}}}\rangle\) (\(F \equiv |\ langle {\ hat {\ mathbf {F}}} \ rangle | = 1 \}} и ортогональный вектор \ ({\ hat {\ mathbf {d}}} \) (методы).

Топологическая устойчивость сингулярного SO(3)-вихря характеризуется тем, что замкнутые контуры, опоясывающие дефект, отображаются в пространство параметров порядка 7 . Если пространственное изображение параметра порядка такого замкнутого контура можно непрерывно стягивать в точку, то дефект топологически неустойчив к преобразованиям в безвихревое состояние. Пространство параметров SO(3) может быть представлено геометрически как твердая сфера радиусом π , где направление радиус-вектора любой точки внутри сферы задает ось вращения, а ее длина задает угол поворота (рис. 2). Однако π оборотов вокруг осей \({\hat{\mathbf{n}}}\) и \(- {\hat{\mathbf{n}}}\) эквивалентны, и, следовательно, диаметрально противоположные точки на поверхность должна быть идентифицирована. Следовательно, существуют только два топологически различных класса сингулярных вихревых линий: те, которые проходят между отождествленными диаметрально противоположными точками четное число раз, включая ноль; и те, которые прослеживаются между ними нечетное количество раз. Математически вихревые заряды образуют двухэлементную группу \({\Bbb Z}_2\).

Рис. 2

Стягиваемые и нестягиваемые петли в SO(3). a Точки внутри и на поверхности сферы представляют собой элементы SO(3), причем диаметрально противоположные точки (например, A и A ′) на поверхности соответствуют одному и тому же элементу. Стягиваемая петля на поверхности сферы соответствует вихрю с 4 π витками, непрерывно деформируемому в безвихревое состояние. Такая деформация равносильна трюку с поясом Дирака. b Распад неособого вихря на два отдельных сингулярных линейных дефекта представлен появлением двух петель в разных копиях сферы SO(3). Каждая петля замкнута в силу отождествления A и A ′ и не может быть стянута в точку сама по себе. На вставках показана ориентация ферромагнитного параметра порядка в реальном пространстве, соответствующая точкам на стягиваемой ( a ) и несжимаемой ( b ) петлях соответственно.Каждая ортонормированная триада определяется направлением вращения (черные стрелки) и двумя другими взаимно ортонормированными векторами (зеленый и синий) с осью вращения, обозначенной пунктирной линией

Поскольку четное число связей между идентифицированными точками всегда соответствует к петле, стягиваемой в точку, вихри первого (четного) класса могут непрерывно деформироваться в бездефектное состояние, а вихри второго (нечетного) класса могут непрерывно деформироваться в однократно квантованный сингулярный вихрь. Суть трюка с поясом Дирака состоит в том, что обмотка 4 π с путем в пространстве параметров, который один раз проходит вокруг сферы, эквивалентна бездефектному состоянию.

Создание вихрей SO(3)

Наш основной результат – управляемый метод создания пары сингулярных спинорных вихрей SO(3) с нетривиальной топологией вращения из несингулярной текстуры. В начальном несингулярном вихре, также известном как вихрь без ядра, бэби-скирмион или вихрь Андерсона-Тулузы-Чечеткина/Мермина-Хо 2 в сверхтекучем жидком гелии, циркуляция не квантуется, и вращение образует фонтанообразную профиль, который подстраивается под угловой момент сверхтекучей жидкости.Эта характерная фонтанирующая текстура экспериментально наблюдалась в BEC 25,26,27 . Если несингулярная спиновая текстура не ограничена, например, энергетически, она может непрерывно деформироваться в безвихревое состояние. Мы находим, однако, что очень резкий изгиб профиля спина вихря, соответствующий сильной, но неполной продольной намагниченности, вызывает неустойчивость, при которой несингулярная текстура спина распадается, расщепляясь на пару однократно квантованных вихрей 14 , как показано на рис. 3a–d (см. также дополнительное примечание 1). После разделения образующиеся однократно квантованные вихри больше не могут раскручиваться сами по себе, тем самым обходя трюк с поясом Дирака по линиям на рис. уход из конденсата на его границе 25 , но и его расщепление на пару однократно квантованных SO(3)-вихрей, которые, в свою очередь, также в конечном счете покинут конденсат. Численно изгиб с намагничиванием \(M \lesssim — 0.3\), которая явно сохраняется, достаточно, чтобы гарантировать расщепление, как показано на рис. 3 и 4.

Рис. 3

Контролируемое создание сингулярного вихря SO(3) из несингулярного вихря. a Плотности спинорных компонентов аналитически сконструированного неосингулярного вихревого состояния сразу после импринтинга (см. также Дополнительное примечание 1) в поперечном сечении через конденсат. b Соответствующие экспериментальные изображения поглощения с T эволюционируют  ≈ 0 мс для d B b /d t  = −5 G 1 9,05 G сМинимум плотности компонента м  = −1 отмечает центр неособого вихря, а две другие компоненты в этой области отличны от нуля (синие кружки). Процесс создания подвергает три спинорных компонента воздействию устойчивых дифференциальных сил, искажая конденсат и вызывая ненулевые плотности в компонентах м  = 0 и м  = 1, удаленных от центра вихря. Плотности экспериментальных изображений выражены через безразмерную оптическую толщину (О.D.), а поле зрения каждого изображения составляет 219 мкм × 219 мкм. c Локально устойчивое состояние после численного моделирования энергетической релаксации несингулярного вихря b , показанное плотностью компонентов в поперечном сечении через облако. Вследствие симметрии параметра порядка SO(3) и сохраняющейся намагниченности несингулярный вихрь нестабилен по отношению к расщеплению на пару однократно квантованных сингулярных вихрей, видимых как провалы плотности в компоненте м  = −1.Пики в компоненте м  = 0 в положениях вихрей показывают образование ядер вихрей, заполненных атомами в полярной фазе. d То же, что b , но для T эволюция  = 150 мс и соответствует c . e Схема процесса импринтинга, показывающая конденсат (синий), линии магнитного поля (серый), узловую линию/ось безъядерного вихря (желтый) и положение нуля магнитного поля (красная точка) в три последовательных момента в время.Несингулярный вихрь создается неполностью адиабатическим вращением спина, когда местонахождение нуля поля проходит через конденсат в направлении, указанном красной стрелкой. Исходные данные предоставляются в виде файла Source Data

Рис. 4

Теоретические спиновые текстуры и соответствующие экспериментальные данные. a Характерная фонтанообразная текстура спина начального несингулярного вихря с вездесущей величиной спина, равной единице. b Спиновая текстура релаксированного вихревого состояния.Цвет фона указывает на величину вращения, показывая закрашенные ядра вихрей. c , d Экспериментально полученные составные цветные изображения соответствующих структур по данным рис. 3, где цветами обозначены спинорные компоненты. В отсутствие атомов в компоненте спинора m  = 1 чистый синий цвет представляет P-фазу, а чистый зеленый цвет представляет ферромагнитную фазу. Поле зрения c , d составляет 219 мкм × 219 мкм. Исходные данные представлены в виде файла Source Data

Процесс расщепления несингулярной спиновой текстуры принципиально отличается от наблюдаемого ранее распада многократно квантованного сингулярного вихря на множество однократно квантованных вихрей 28,29,30,31 , в котором магнитные поля захвата замораживают степень свободы атомного спина, создавая скалярный БЭК.Напротив, наш эксперимент основан на полностью оптической ловушке, которая позволяет атомам сохранять свою спинорную природу. Тем не менее, запечатление многократно квантованного сингулярного вихря полностью спин-поляризует конденсат, и спинорная динамика не возникает из-за сохранения максимальной продольной намагниченности. Важнейшей особенностью нашего эксперимента является то, что динамика распада начинается с импринтированной несингулярной спиновой текстуры. Неполная намагниченность обеспечивает активные спиновые степени свободы, и требуется спинорное описание.Соответствующая алгебра зарядов линейных вихрей в нашем процессе расщепления в SO(3), таким образом, подчиняется циклической группе \({\Bbb Z}_2\) только с элементами 0 и 1. Как равномерно квантованные, так и неособые вихри являются представлены тривиальным элементом, а их расщепление соответствует групповой операции 0 = 1 + 1, не имеющей аналога в скалярном БЭК.

Мы используем изменяющиеся во времени магнитные поля (рис. 3e), чтобы экспериментально инициировать процесс создания конденсата, первоначально приготовленного в | м  = 1〉, где | m 〉 обозначает m -й спинорный компонент.Такие методы 32,33 были использованы для получения, например, несингулярных 25,27,34 и многократно квантованных вихрей 29 , а также монополей 35 , скирмионов 36 0 , и узлов .

Управляемое создание сингулярных вихрей в скалярных БЭК 38,39 и непрерывных текстур в спинорных системах 26 также было достигнуто с использованием методов фазового импринтинга. В нашем эксперименте атомы испытывают приложенное магнитное поле, описываемое формулой

mathrm{q}}\left( {x{\hat{\mathbf{x}}} + y{\hat{\mathbf{y}}} — 2z{\hat{\mathbf{z}}}} \right ).$$

(2)

где b q — сила квадрупольного вклада, а B b ( t ) — зависящее от времени подмагничивающее поле, которое сдвигает положение точки, в которой магнитное поле исчезает ( ноль поля) до z 0  =  B b /(2 b q ) по оси z . Изначально выбираем B b так, чтобы нуль поля находился немного выше конденсата (см. Методы), а магнитное поле было приблизительно однородным (рис.3д).

Уменьшение поля смещения медленно вызывает адиабатическое вращение спина, когда нуль магнитного поля проходит через конденсат сверху, сопровождаемый трехмерной узловой линией 35 (рис. 3e). При более высоких скоростях нарастания магнитного поля в остальном идентичный эксперимент дает контролируемо неполные адиабатические вращения спина и приводит к несингулярному вихрю 28,34 с дополнительными населенностями в |0〉 и |1〉 (рис. 3a, b и дополнительное примечание). 1). Атомы высвобождаются из ловушки после времени эволюции T эволюции , измеренного от завершения линейного изменения поля.После периода баллистического расширения они отображаются, после чего мы наблюдаем пару однократно квантованных вихрей SO(3) в |−1〉 с заполненными ядрами, содержащими атомы в |0〉, как показано на рис. 3c, d и 4. Эти результаты согласуются с численным моделированием локально расслабленного состояния (дополнительное примечание 1). Один из этих сингулярных спинорных вихрей обычно уходит из конденсата раньше другого, что снижает энергию конденсата 12,14 и оставляет после себя одиночный вихрь SO(3) (рис. 5). Основными диссипативными источниками, как и в скалярных БЭК 6,40 , являются неисчезающее тепловое облако и потенциальные столкновения с высокотемпературными атомами.

Рис. 5

Однократно квантованный сингулярный вихрь SO(3) в трех измерениях. a , b Экспериментальные абсорбционные изображения атомной плотности в каждой компоненте спинора сверху ( a ) и сбоку ( b ), выраженные через безразмерную оптическую толщину (OD), для SO(3 ) конфигурация вихря после выхода из системы одного из двух вихрей. Компонента m  = −1 отображает вихревую линию, ядро ​​которой заполнено m  = 0 атомов.Система развивалась в течение 1000  мс после импринтинга. c Композитное изображение плотности конденсата в искусственных цветах, если смотреть сверху. Поле зрения каждого изображения составляет 219 мкм × 219 мкм. Исходные данные представлены в виде файла исходных данных

Заполнение ядра вихря и интерфейс

Для сравнения, мы также создаем вихри с пустыми ядрами, уменьшая скорость линейного изменения, так что спины вращаются почти адиабатически, оставляя систему с ненаблюдаемой населенностью в |0 〉 и |1〉.Размер заполненного ядра вихря обычно намного больше размера пустого ядра, как показано на рис. 6. Мы численно проверили, что для наших экспериментальных параметров сверхтекучее ядро ​​вихря расширяется со скоростью, аналогичной скорости всего конденсата после освобождение из ловушки. В эксперименте размер заполненного ядра вихря является дальнейшим проявлением топологии спинора, где спинорные взаимодействия нарушают \(|\langle {\hat{\mathbf{F}}}\rangle | = 1\) спиновое состояние ФМ фазы.В основном состоянии размер заполненного ядра вихря определяется длиной восстановления спина 12,15 , возникающей только за счет спин-спиновых взаимодействий, которая намного больше длины восстановления плотности, ограничивающей размер пустого ядра . Таким образом, по мере выделения конденсата диссипация вызывает раздувание заполненных ядер вихрей по мере накопления в них атомов |0〉. Мы не наблюдаем соответствующего роста пустых ядер вихрей, что также показано на рис. 6.

Рис. 6

Влияние атомов ядра на размер ядра.Размер ядер вихрей после расширения в компоненте м  = −1 с незаполненными (красные) или заполненными (синие) ядрами. Размер ядра частично зависит от числа атомов |0〉 внутри ядра, которое растет по мере накопления там атомов |0〉. Каждая синяя точка представляет одно измерение вихря. Поскольку даже пустые ядра вихрей вблизи границы конденсата увеличиваются, мы указываем радиальное положение вихря размером точки, при этом меньшие точки соответствуют большим радиусам. Типичная неопределенность числа атомов в ядре дается как вертикальная планка погрешности для одной точки.Красная точка и полоса ошибок иллюстрируют среднее значение и стандартное отклонение репрезентативной выборки незаполненных ядер вихрей из более чем 25 конденсатов, полученных с помощью низкоскоростного s −1 ) рампа магнитного поля смещения. На вставках показаны типичные экспериментальные профили атомной плотности по абсорбционной визуализации, выраженные через безразмерную оптическую толщину (OD), трех компонентов спинора для случая заполненного (вверху слева и точки, отмеченные зелеными кружками) и пустого (внизу справа) ядра. Поле зрения каждого изображения на вставках составляет 219 мкм × 219 мкм. Исходные данные представлены в виде файла исходных данных

В то время как параметр порядка SO(3) FM-фазы может быть представлен ориентацией ортонормированной векторной триады, параметр порядка P характеризуется неориентированной осью нематика \({\ hat{\mathbf{d}}}\) вместе с конденсатной фазой (дополнительное примечание 2). Таким образом, заполнение ядра вихря приводит к границе между областями, где сверхтекучий параметр порядка нарушает различные симметрии.В нашей системе интерфейс проявляется во внутренней структуре самого дефекта и наблюдается непосредственно в эксперименте как плавный переход между FM-состоянием вихря в окружающей сверхтекучей жидкости и P-фазой в ядре вихря (рис. 5). Численное моделирование этого перехода позволяет графически изобразить спинор конденсата в виде разложения по сферическим гармоникам Z (см. рис. 1). Деформация Z иллюстрирует непрерывный топологический интерфейс, который соединяет SO(3) симметричный параметр порядка FM-фазы с нематическим параметром порядка P-фазы. 2\frac{\beta }{2}D_ — } \right)} \end{array}} \right),$$

(3)

, где \(D_ \pm = \sqrt {1 \pm F}\) представляет собой интерполяцию между фазами FM и P для F , изменяющимися от 1 до 0 соответственно. Азимутальный угол вокруг вихревой линии представлен как ϕ , а β является полярным углом. Вектор спина равен \(\langle {\hat{\mathbf{F}}}\rangle = F({\rm{sin}}\beta \hat {\boldsymbol{\rho}} + {\rm{cos} }\beta {\hat{\mathbf{z}}})\), а единичный вектор, ортогональный ему, равен \({\hat{\mathbf{d}}} = — {\rm{cos}}\beta \шляпа {\boldsymbol{\rho}} + {\rm{sin}}\beta {\шляпа{\mathbf{z}}}\), где \(\шляпа {\boldsymbol{\rho}}\) радиальный орт относительно вихревой линии.Для F  = 1 уравнение (3) сводится к сингулярному FM-вихрю, и для F  = 0 спинор представляет собой нециркулирующую P-фазу, которая занимает ядро ​​вихря.

Спинорный анализ

Далее мы явно демонстрируем SO(3)-природу вихря. Представление вихревой волновой функции в виде трехкомпонентного спинора зависит от выбора спинорного базиса, а симметрия параметра порядка диктует, как представление трансформируется при изменении базиса. 2)\) аппроксимирует профиль ядра вихря с размером, параметризованным r 0 .{\mathrm{T}}\), равномерно расщепляя атомы между компонентами |±1〉. Таким образом, после импульса исходное распределение атомной плотности ФМ-фазы воспроизводится в компоненте |0〉, поскольку оно содержит только атомы, возникшие в компоненте |−1〉. С другой стороны, два других компонента демонстрируют фазовые сингулярности, которые сместились в разные места, что привело к решению с расщепленным ядром, которое, по-видимому, нарушило осевую симметрию исходного состояния. Такая трансляция вихрей после преобразования базиса является проявлением SO(3)-симметрии параметра порядка и указывает на наличие сингулярности в линии, вокруг которой вращается вектор спина (дисгирация).После вращения π /2 положение вихрей все еще можно идентифицировать по минимумам плотности атомов в компоненте |0〉.

Рис. 7

Подпись символа SO(3). a Плотности компонентов спинора после подачи импульса π /2 спинового кончика на аналитически сконструированный однократно квантованный вихрь, уравнение. (4), что соответствует смене спинорного базиса. Ядро вихря находится в минимуме плотности компоненты |0〉. b , c Экспериментальные абсорбционные изображения атомной плотности, выраженные через безразмерную оптическую толщину (О.D.), в каждой спинорной компоненте после применения вращения спина π /2 для конденсатов, содержащих один и два вихря соответственно. Ядра вихрей идентифицируются по минимумам плотности в компоненте м  = 0, а соответствующие места в каждой компоненте спинора и на цветном составном изображении обведены желтыми кружками. Составные изображения в искусственных цветах показывают чередующиеся области м  = ±1 компонентов вблизи ядра вихря. Поле зрения каждого изображения в b , c составляет 219 мкм × 219 мкм.Исходные данные представлены в виде файла исходных данных

Волна материи в |±1〉 также может быть интерпретирована как интерференция между перекрывающимися спинорными компонентами перед импульсом спинового кончика. Во всех случаях экспериментальные профили плотности на рис. 7 хорошо согласуются с теоретическим предсказанием, полученным путем применения вращения спина π /2 к уравнению. (4).

Экспериментальная демонстрация спинорного медленного света

  • Хау Л.В., Харрис С.Е., Даттон З. и Бехрузи К.H. Снижение скорости света до 17 метров в секунду в сверххолодном атомарном газе. Природа 397 , 594–598 (1999).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Каш, М. М. и др. Сверхмедленная групповая скорость и усиленные нелинейные оптические эффекты в когерентном горячем атомарном газе. Физ. Преподобный Летт. 82 , 5229–5232 (1999).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Бигелоу, М.С., Лепешкин Н. Н. и Бойд Р. В. Наблюдение за сверхмедленным распространением света в кристалле рубина при комнатной температуре. Физ. Преподобный Летт. 90 , 113903 (2003 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Okawachi, Y. et al. Настраиваемые полностью оптические задержки с помощью бриллюэновского медленного света в оптоволокне. Физ. Преподобный Летт. 94 , 153902 (2005 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Новикова И., Phillips, DF & Walsworth, RL. Медленный свет со встроенным усилением и большой задержкой импульса. Физ. Преподобный Летт. 99 , 173604 (2007 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Krauss, T. F. Зачем нам медленный свет? Нац. Фотон. 2 , 448–450 (2008).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Сиддонс, П. , Белл, Н.С., Кай, Ю., Адамс, К.С. и Хью, И.Г. Атомный зонд с гигагерцовой полосой пропускания, основанный на эффекте Фарадея медленного света. Нац. Фотон. 3 , 225–229 (2009).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Хургин, Дж. Б. Медленный свет в различных средах: учебное пособие. Доп. Опц. Фотон. 2 , 287–318 (2010).

    Артикул Google ученый

  • Ву, К., Ханикаев А.Б., Швец Г. Широкополосный метаматериал медленного света на основе резонанса Фано двойного континуума. Физ. Преподобный Летт. 106 , 107403 (2011).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Капмани Дж., Гасулла И. и Сейлз С. Использование медленного света. Нац. Фотон. 5 , 731–733 (2011).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Гринберг П. и другие. Сужение ширины линии нанорезонатора и увеличение групповой задержки за счет медленного распространения света и нелинейных эффектов. Физ. Преподобный Летт. 109 , 113903 (2012).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Muñoz, M.C. et al. Оптически индуцированные непрямые фотонные переходы в медленном световом фотонно-кристаллическом волноводе. Физ. Преподобный Летт. 112 , 053904 (2014).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Флейшхауэр, М.и Лукин, М. Д. Поляритоны в темном состоянии в электромагнитно-индуцированной прозрачности. Физ. Преподобный Летт. 84 , 5094–5097 (2000).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Лю С., Даттон З., Бехрузи С. Х. и Хау Л. В. Наблюдение когерентного оптического хранения информации в атомной среде с использованием остановленных световых импульсов. Природа 409 , 490–493 (2001).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Филлипс, Д.Ф., Флейшхауэр А., Мэйр А., Уолсворт Р. Л. и Лукин М. Д. Хранение света в атомарном паре. Физ. Преподобный Летт. 86 , 783–786 (2001).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Юзелюнас Г. и Кармайкл Х. Дж. Систематическая формулировка медленных поляритонов в атомарных газах. Физ. Ред. A 65 , 021601(R) (2002).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Лонгделл, Дж.Дж., Фраваль Э., Селларс М.Дж. и Мэнсон Н.Б. Остановили свет со временем хранения более одной секунды с использованием электромагнитно индуцированной прозрачности в твердом теле. Физ. Преподобный Летт. 95 , 063601 (2005).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Schnorrberger, U. et al. Электромагнитно индуцированная прозрачность и хранение света в атомном изоляторе Мотта. Физ. Преподобный Летт. 103 , 033003 (2009 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Чжан Р., Гарнер С. Р. и Хау Л. В. Создание долговременной когерентной оптической памяти посредством контролируемых нелинейных взаимодействий в конденсатах Бозе-Эйнштейна. Физ. Преподобный Летт. 103 , 233602 (2009 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Чен Ю.-Х. и другие. Когерентная оптическая память с высокой эффективностью хранения и большой дробной задержкой. Физ. Преподобный Летт. 110 , 083601 (2013).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Heinze, G. , Hubrich, C. & Hoffman, T. Остановка света и сохранение изображения с помощью электромагнитно индуцированной прозрачности до режима одной минуты. Физ. Преподобный Летт. 111 , 033601 (2013).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Байчи М., Зибров А. С., Лукин М. Д. Стационарные импульсы света в атомарной среде. Природа 426 , 638–641 (2003).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Флейшхауэр М., Оттербах Дж. и Унанян Р. Г. Конденсация Бозе-Эйнштейна поляритонов стационарного света. Физ. Преподобный Летт. 101 , 163601 (2008 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Лин Ю.В. и др. Стационарные световые импульсы в холодных атомарных средах и без брэгговских решеток. Физ. Преподобный Летт. 102 , 213601 (2009 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Оттербах Дж., Русецкас Дж., Унанян Р. Г., Юзелюнас Г. и Флейшхауэр М. Эффективные магнитные поля для стационарного света. Физ. Преподобный Летт. 104 , 033903 (2010).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Шмидт, Х.и Имамоглу, А. Гигантские керровские нелинейности, полученные с помощью электромагнитно индуцированной прозрачности. Опц. лат. 21 , 1936–1938 (1996).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Харрис, С. Э. и Ямамото, Ю. Переключение фотонов с помощью квантовой интерференции. Физ. Преподобный Летт. 81 , 3611–3614 (1998).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Ван З. Б., Марзлин, К.-П. и Сандерс, Б. С. Большая кросс-фазовая модуляция между медленными совместно распространяющимися слабыми импульсами в 87 Rb. Физ. Преподобный Летт. 97 , 063901 (2006).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Шиау, Б.-В., Ву, М.-К., Лин, К.-К. и Чен, Ю.-К. Кросс-фазовая модуляция при слабом освещении с двойными медленными световыми импульсами. Физ. Преподобный Летт. 106 , 193006 (2011).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Чен Ю.-ЧАС. и другие. Демонстрация взаимодействия двух остановленных световых импульсов. Физ. Преподобный Летт. 108 , 173603 (2012).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Венкатараман В., Саха К. и Гаета А. Л. Фазовая модуляция на уровне нескольких фотонов для квантовых вычислений на основе слабой нелинейности. Нац. Фотон. 7 , 138–141 (2013).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Чен В.и другие. Полностью оптический переключатель и транзистор, управляемые одним сохраненным фотоном. Наука 341 , 768–770 (2013).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Пейронель, Т. и др. Квантовая нелинейная оптика с одиночными фотонами за счет сильно взаимодействующих атомов. Природа 488 , 57–60 (2012).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Максвелл, Д.и другие. Хранение и управление оптическими фотонами с помощью ридберговских поляритонов. Физ. Преподобный Летт. 110 , 103001 (2013).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Баур С. , Тиаркс Д., Ремпе Г. и Дюрр С. Однофотонное переключение на основе блокады Ридберга. Физ. Преподобный Летт. 112 , 073901 (2014).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Дуань Л.М., Лукин, М. Д., Сирак, Дж. И. и Золлер, П. Квантовая связь на большие расстояния с атомными ансамблями и линейной оптикой. Природа 414 , 413–418 (2001).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Балич В., Брайе ​​Д. А., Колчин П., Инь Г. Ю. и Харрис С. Э. Генерация парных фотонов с управляемыми формами волны. Физ. Преподобный Летт. 94 , 183601 (2005 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Шанельер, Т.и другие. Хранение и извлечение одиночных фотонов, передаваемых между удаленными квантовыми запоминающими устройствами. Природа 438 , 833–836 (2005).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Eisaman, M.D. et al. Электромагнитно индуцированная прозрачность с перестраиваемыми однофотонными импульсами. Природа 438 , 837–841 (2005).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Чой, К.С., Денг Х., Лорат Дж. и Кимбл Х.Дж. Отображение фотонной запутанности в квантовую память и из нее. Природа 452 , 67–71 (2008).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Чжао Б. и др. Миллисекундная квантовая память для масштабируемых квантовых сетей. Нац. физ. 5 , 95–99 (2009).

    КАС Статья Google ученый

  • Чжоу С. и другие. Оптимальное хранение и извлечение однофотонных сигналов. Опц. Экспресс 20 , 24124–24131 (2012).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Harris, S.E. Электромагнитно индуцированная прозрачность. Физ. Сегодня 50 , 36–42 (1997).

    КАС Статья Google ученый

  • Лукин М.Д. Коллоквиум: захват и манипулирование фотонными состояниями в атомных ансамблях. Ред. Мод. физ. 75 , 457–472 (2003).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Флейшхауэр, М., Имамоглу, А. и Марангос, Дж. П. Электромагнитно индуцированная прозрачность: оптика в когерентных средах. Ред. Мод. физ. 77 , 633–673 (2005).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Унанян Р. Г. и др. Спинорные частицы медленного света и дираковские частицы с переменной массой. Физ. Преподобный Летт. 105 , 173603 (2010 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Ruseckas, J. et al. Свойства фотонной запрещенной зоны для двухкомпонентного медленного света. Физ. Ред. A 83 , 063811 (2011).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Русецкас, Ю., Кудряшов В., Ю. И. А. и Юзелюнас Г. Передача орбитального углового момента света с помощью двухкомпонентного медленного света. Физ. Ред. A 87 , 053840 (2013).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Бао, Q.-Q. и другие. Когерентная генерация и динамическая манипуляция двойными стационарными световыми импульсами в пятиуровневой двойной триподной системе холодных атомов. Физ. Ред. A 84 , 063812 (2011).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Петросян Д., Малакян Ю. П. Магнитооптическое вращение и кросс-фазовая модуляция с помощью когерентно управляемых четырехуровневых атомов в конфигурации треноги. Физ. Ред. A 70 , 023822 (2004 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Рачиньски А., Заремба Ю. и Зелинска-Канясты С.Разделение луча и интерференция Хонга-Оу-Манделя для сохраненного света. Физ. Ред. A 75 , 013810 (2007 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Ван, Х.-Х. и другие. Замедление и хранение двойных световых импульсов в кристалле Pr 3+ :Y2SiO5. Опц. лат. 34 , 2596–2598 (2009).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Карпа, Л. , Вевингер, Ф. и Вейц, М. Резонансное биение света, хранящегося с использованием атомных спинорных поляритонов. Физ. Преподобный Летт. 101 , 170406 (2008 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Русецкас Й., Мекис А. и Юзелюнас Г. Медленные поляритоны с орбитальным угловым моментом в атомарных газах. Физ. Ред. A 83 , 023812 (2011).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Чиу, К.-К. и другие. Четырехволновое смешение при слабом освещении с помощью квантовой интерференции. Физ. Ред. A 89 , 023839 (2014).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Брайе, Д. А., Балич, В., Года, С., Инь, Г. Ю. и Харрис, С. Э. Смешивание частот с использованием электромагнитно индуцированной прозрачности в холодных атомах. Физ. Преподобный Летт. 93 , 183601 (2004 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый

  • Лин Ю.-В., Чоу, Х.-К., Двиведи, П.П., Чен, Ю.-К. & Ю И. А. Использование пары прямоугольных катушек в МОЛ для получения облаков холодных атомов с большой оптической плотностью. Опц. Экспресс 16 , 3753–3761 (2008 г.).

    ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый

  • Спинорные поля в сферической симметрии: пространство-время Эйнштейна–Дирака и другие

  • Б. Саха, Г.Н. Шикин, Взаимодействующие спинорные и скалярные поля во Вселенной Бьянки типа I, заполненной идеальной жидкостью: точные самосогласованные решения.Ген. отн. Гравит. 29 , 1099 (1997)

    Google ученый

  • Б. Саха, Спинорное поле во вселенной Бьянки типа I: регулярные решения. физ. Ред. D 64 , 123501 (2001)

    Google ученый

  • Б. Саха, Нелинейное спинорное поле в космологии Бьянки типа I: инфляция, изотропизация и ускорение позднего времени. физ. Ред. D 74 , 124030 (2006)

    Google ученый

  • Б.Саха, Нелинейность спинорного поля и геометрия пространства-времени. физ. Часть. Нукл. 49 , 146 (2018)

    Google ученый

  • В. Джунушалиев, В. Фоломеев, А. Махмудов, Неабелева теория Прока–Дирака–Хиггса: частицеподобные решения и их энергетический спектр. физ. Ред. D 99 , 076009 (2019)

    Google ученый

  • И.И. Котаеску, К.А. Sporea, Рассеяние дираковских фермионов сферическими массивными телами, arXiv: 1811.07723

  • В. Джунушалиев, В. Фоломеев, звезда Дирака в присутствии полей Максвелла и Прока, arXiv: 1901.09905

  • Б. Саха, Спинорные поля в сферически-симметричном пространстве-времени. Евро. физ. Дж.Плюс 133 , 461 (2018)

    Google ученый

  • К.Бронников А. С. «Сферически симметричный ложный вакуум: непроходимые теоремы и глобальная структура». физ. Ред. D 64 , 064013 (2001). архив: gr-qc/0104092

    Google ученый

  • К.А. Бронников, С.Г. Рубин, Черные дыры, космология и дополнительные измерения (World Scientific, Сингапур, 2012)

    Google ученый

  • К.А. Бронников, Дж. К. Фабрис, А. Жиденко, Об устойчивости скалярно-вакуумных пространств-времен. Евро. физ. Дж. С 71 , 1791 (2011)

    Google ученый

  • К.А. Бронников, Дж. К. Фабрис, Регулярные фантомные черные дыры. физ. Преподобный Летт. 96 , 251101 (2006 г.). архив: gr-qc/0511109

    Google ученый

  • К.А. Бронников, В.Н. Мельников, Х. Денен, Регулярные черные дыры и черные вселенные. Ген. отн. Гравит. 39 , 973–987 (2007). архив: gr-qc/0611022

    Google ученый

  • С.В. Болохов, К.А. Бронников, М.В. Скворцова, Магнитные черные вселенные и червоточины с фантомным скаляром. Сорт. Квантовая гравитация 29 , 245006 (2012). архив: 1208.4619

    Google ученый

  • К.А. Бронников, П.А. Королев, О червоточинах с длинным горлом и проблема устойчивости. Гравит. Космол. 23 (3), 273–279 (2017). архив: 1705.05906

    Google ученый

  • Х. Эллис, Поток эфира через сливное отверстие: модель частиц в общей теории относительности. Дж. Матем. физ. 14 , 104 (1973)

    Google ученый

  • Х. Шинкай, С.А. Хейворд, Судьба первой проходимой червоточины: коллапс черной дыры или инфляционное расширение.физ. Ред. D 66 , 044005 (2002)

    Google ученый

  • Дж.А. Гонсалес, Ф.С. Гусман, О. Сарбах, Нестабильность червоточин, поддерживаемых призрачным скалярным полем. I. Анализ линейной устойчивости. Сорт. Квантовый Гравит. 26 , 015010 (2009). архив: 0806.0608

    Google ученый

  • К.А. Бронников, Л.Н. Липатова, И.Д. Новиков, А.А. Шацкий, Пример стабильной кротовой норы в ОТО.Гравит. Космол. 19 , 269 (2013). архив: 1312.6929

    Google ученый

  • К.А. Бронников, А.В. Ходунов, Скалярное поле и гравитационная неустойчивость. Ген. отн. Гравит. 11 , 13 (1979)

    Google ученый

  • К.А. Бронников, Р.А. Конопля, А. Жиденко, Неустойчивости червоточин и обычных черных дыр, поддерживаемых фантомным скалярным полем.физ. Ред. D 86 , 024028 (2012). архив: 1205.2224

    Google ученый

  • %PDF-1.2 % 1 0 объект> эндообъект 2 0 объект> эндообъект 3 0 объект> эндообъект 4 0 obj>/BaseFont/YXTSPO+Helvetica/FirstChar 32/LastChar 255/Subtype/Type1/ToUnicode 11 0 R/FontDescriptor 5 0 R/Widths[233 311 420 701 611 911 683 232 365 365 0 465 1 182 311 311 580 580 580 580 580 580 580 580 580 311 311 669 600 669 548 869 622 669 712 719 612 568 740 710 264 520 667 529 890 740 758 639 758 681 656 575 696 594 822 570 473 593 370 420 370 442 497 312 553 601 548 599 570 319 600 572 228 2319 600 572 228 231 523 232 872 573 523 597 592 573 506 320 573 470 720 474 498 468 366 478 366 600 233 233 233 311 432 422 931 500 500 233 1298 233 286 233 233 233 233 286 311 311 422 422 600 600 984 233 861 233 286 233 861 233 286 233 233 233 286 233 233 233 233 233 380 680 603 233 233 380 680 603 825 691 478 579 326 806 368 462 600 422 806 1064 266 600 360 360 200 580 491 250 788 886 440 462 878 820 840 880 232 622 689 544 622 612 593 710 758 264 627 594 890 740 544 758 710 639 2344 758 710 639 233 550 575 605 860 610 740 760 264 605 620 560 566 264 546 620 560 520 566 516 440 566 620 232 488 530 554 460 460 586 530 554 590 540 592 432 546 774 450 736 740 232 54 6 586 546 740 233]>> эндообъект 5 0 объект> эндообъект 6 0 объект поток %!PS-AdobeFont-1. 0: PragmaticaGM 001.000 %%CreationDate: 05:28:97 %%Авторское право (c) 1990-1997 ParaGraph % улица Красикова, 32, 19 этаж % Москва 117418 Россия % телефон: +7 (095) 129-1500 % факс: (7095) 129-0911 %%Pragmatica является торговой маркой ParaGraph. 11 начало слова /FontInfo 9 начало дублирования словаря /версия (001.000) только для чтения по определению /Уведомление (Авторское право (c) 1990-1997 ParaGraph) только для чтения /FullName (PT Pragmatica Medium Greek Monotonic) только для чтения def /FamilyName (PragmaticaGM) только для чтения по определению / Курсив Угол 0.00 деф /isFixedPitch ложное определение /UnderlinePosition -100 деф. /UnderlineThickness 50 по определению конец только для чтения /Название шрифта /YXTSPO+Helvetica def /PaintType 0 по умолчанию /Тип шрифта 1 по умолчанию /FontMatrix [0,001 0 0 0,001 0 0] только для чтения /Кодирование массива 256 0 1 255 {1 index exch /.notdef put} для дублировать 32 /пробел поставить дупликация 33 /восклицательный знак дубликат 34 /quotedbl поставить дуп 36 /доллар пут дублировать 38 / поставить амперсанд дубликат 39 /quotesingle put дублировать 40 /parenleft положить дубликат 41 /parenright put дуп 42 /звездочка поставить дубликат 43 / плюс положить дублировать 44 / поставить запятую дублировать 45 /дефис минус поставить дубликат 46 / период времени дублировать 47 /слэш поставить дублировать 48 / поставить ноль дубликат 49 / один раз дубликат 50 / два раза дубликат 51 / тройка дуп 52 /четыре пут дуп 53 /пять поставить дублировать 54 / шесть положить дуп 55 / семь пут дубликат 56 / восьмой пут дуп 57 /девять пут дубликат 58 /двоеточие поставить дубликат 59 / ставится точка с запятой дуп 60 / меньше поставить дублировать 61 / равно поставить дублировать 62 / больше положить дуп 65 /А пут дублировать 66 / B поставить дуп 67 /С поставить дублировать 68 /D поставить дублировать 69 / E поставить дуп 70 /F поставить дупликация 71 / G положить дуп 72 / ч поставить дуп 73 /я поставил дупликация 74 /J put дуп 75 /к поставить дуп 76/л пут дупликация 77 /М пут дублировать 78 / N положить дублировать 79 / O положить дуп 80 /P поставить дубликат 81 / Q положить дуп 82 /R поставить дубликат 83 / S положить дуп 84 /Т пут дуп 85 / U положить дуп 86 /В поставить дуп 87 /W поставить дублировать 88 / X поставить дубликат 89 /Y поставлен дуп 90 /Z поставить dup 91 /bracketleft поставить дублировать 92 / обратную косую черту поставить dup 93 /правая скобка дупликация 94 / asciicircum put дублировать 95 / подчеркивание поставить дубликат 97 / день дуп 98 /b поставить дуп 99 /с поставить дуп 100 / д поставить дублировать 101 / e положить дуп 102 / ф пут дуп 103/г положил дуп 104 /ч поставить дуп 105 / я положил дубликат 106 / j put дуп 107 /k поставить дуп 108 /л положить дуп 109 /м положил дуп 110 / п поставить дублировать 111 / о поставить дуп 112 /p положить дублировать 113 / q положить дуп 114 /р поставить дуп 115/с поставить дуп 116 /т пут дублировать 117 / поставить дуп 118 /v поставить дублировать 119 / w положить дублировать 120 /x поставить дуп 121 /год положен дуп 122 /z поставить дуп 124 /бар пут дупликация 126 / asciitilde put дублировать 151 / emdash поставить дубликат 169 / авторское право помещено дубликат 171 / guillemotleft put дубликат 172 /логический не ставится дубликат 174 / зарегистрированный пут дупликация 186 / Йотатонос пут дупликация 187 / guillemotright put дубликат 195 /Гамма-пут дуп 203 /лямбда поставить дубликат 228 / дельта-пут дуп 229 /эпсилон пут дуп 233 /йота поставить дуп 246 / фи поставить дуп 249 / омега пут дупликация 192 /iotadieresistonos put дубликат 223 /iotatonos put дуп 250 /йотадиерезис пут дупликация 251 /upsilondieresis put дуп 252 /омикронтонос поставить только для чтения /FontBBox {-80 -224 1245 840} только для чтения /Уникальный идентификатор 5049017 по умолчанию конец текущего слова текущий файл v!#EdL6″} Y(ExMba’[email protected]ع?Fd0O

    Билинейные коварианты

    Билинейные коварианты Мы видели, что постоянная матрицы можно использовать для создания сохраняющегося вектора тока

    который корректно преобразуется при преобразованиях Лоренца. С матрицами 4 на 4 мы можем составить до 16 компонентов. Вектор выше представляет 4 из них.

    Спинор Дирака преобразуется матрицей .


    Это означает, что преобразуется по уравнению.

    Глядя на два преобразования, мы можем написать обратное преобразование.

    Это справедливо и для .



    Из этого мы можем быстро получить, что инвариантен относительно преобразований Лоренца и, следовательно, является скаляром .


    Повторяя аргумент за у нас есть


    согласно нашему выводу преобразований . При паритетном преобразовании

    пространственные компоненты вектора меняют знак, а четвертый компонент — нет. Он преобразуется как вектор Лоренца по четности.

    Точно так же для ,


    образует тензор 2 ранга (антисимметричный) .

    Теперь у нас есть 1+4+6 компонентов для скаляра, вектора и антисимметричного тензора ранга 2.Чтобы получить аксиальный вектор и псевдоскаляр, мы определяем произведение всех гамма-матриц .


    что, очевидно, антикоммутирует со всеми гамма-матрицами.

    Для вращений и бустов, коммутирует с поскольку он коммутирует с парой гамма-матриц. Для инверсии четности он антикоммутирует с . Поэтому легко показать, что преобразуется как псевдоскаляр и преобразуется как осевой вектор .Теперь это доводит наше общее количество до 16 компонентов билинейных (в спиноре) ковариантов. Обратите внимание, что такие вещи, как это просто константа, умноженная на другой антисимметричный тензорный элемент, так что в этом нет ничего нового. То матрицы могут использоваться вместе со спинорами Дирака для создания скаляра Лоренца, псевдоскаляра, вектора, аксиального вектора и тензор второго ранга. Это полный набор ковариантов , которые, конечно, можно использовать вместе, чтобы составить лагранжианы для физических величин.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.