Задавая вопрос, я предполагал, что вы выдадите в ответ хотя бы определения, чтоб было понятнее, с какой стороны подходить с спинорам. Ну да ладно. Иногда вектор и тензор определяются как наборы чисел, преобразующиеся определённым образом при вращении системы координат. Вектор — набор из трёх чисел, тензор 2-го ранга — набор из девяти чисел и т. д. Причём преобразование это линейное. Возникает вопрос: что если взять, ну скажем, 2 числа, и придумать им какой-нибудь первый попавшийся линейный закон преобразования типа Известно (вот тут конечно вопрос — известно это вам или нет?), что тензоры вообще и векторы в частности — это объекты геометрические. При этом вектор даже несложно представить и нарисовать. А вот тензоры более высокого ранга представить и нарисовать сложнее, но если постараться, то можно. Проверить это можно следующим образом. Известно, например, что последовательность поворота на вокруг оси и поворота на по оси эквивалентна одному повороту на вокруг оси . И понятно, что преобразование компонент геометрического объекта должно быть согласовано с этим: результат применения двух преобразований, соответствующих вращению вокруг двух осей должен быть таким же, как результат преобразования, соответствующего вращению вокруг третьей оси. Вы можете (вы же умеете перемножать матрицы?) проверить, что загогулина этот тест проваливает. Даже проще: два последовательных поворота на вокруг одной и той же оси должны, очевидно, приводить к тому же результату, что и один поворот на . И даже это простой тест загогулина проваливает. Значит, не всякий набор компонент с приданным ему преобразованием определяет геометрический объект. Но всё-таки тензоры — не единственные геометрические объекты в трёхмерном пространстве. Интересно, что, в отличие от тензоров, преобразования эти выглядят не симметрично для трёх осей: ось явно выделена. Но конечно, если вы возьмёте в пространстве две различные системы координат и для каждой построите свои спиноры, то можно будет показать изоморфность этих спиноров, так что выделенность кажущаяся. Но есть у спиноров действительно интересная особенность по сравнению с векторами и тензорами. Вот как преобразуются компоненты спинора при повороте, например, вокруг оси : Всё что я сказал здесь о спинорах — это очень односторонний и однобокий взгляд на эти интересные объекты. Так сказать, беглый взляд краем глаза. Я надеюсь и верю, что он будет дополнен другими постами (в том числе цитатами из старых постов), которые покажут как можно ещё представить себе, что такое спинор. |
И одним из нетензорных геометрических объектов является спинор. Это величина четырёхкомпонентная — она описывается четырьмя действительными числами, но чаще её удобнее описывать двумя комплексными числами. Я не буду приводить формулы для преобразований компонентов при повороте системы координат — их несложно найти в литературе (см. например Л-Л т. 3 формулы (58.3) и (58.4)). Вы можете проверить, что тесты на комбинации поворотов эти преобразования проходят.
Вместо этого оказывается , , т. е. при повороте на спинор меняет знак. Соответственно, в себя спинор переходит только при повороте на . Невероятного в этом, если подумать, ничего нет. Представьте себе мир, где все объекты симметричны таким образом, что совпадают сами с собой при повороте на . И вообразите как удивились бы жители этого мира, если бы увидели какую-нибудь привычную нам вещь, которая совпадает сама с собой только при «двойном» повороте на ! Так же удивились и мы, обнаружив, что мельчайшие частички, из которых состоит наш мир, ведут себя как спиноры: совпадают с собой только при повороте на . Представить нам это трудно, но описать математически как выяснилось — вполне возможно.
Так же, я надеюсь, что вы поняли из моей писанины, что спиноры — это представление группы вращения пространства (вы же знаете, что такое группа и представление группы?).Доверяем красоте . Красота физики [Постигая устройство природы]
Блаженны те, кто веруют в то, что они видят.
Объединение взаимодействий и объединение взаимодействия с веществом – это две теоретические программы, которые уже далеко продвинулись. Как мы обсудили, они достигли значительной объяснительной силы и предполагают существенно новые эффекты. Эти следствия можно проверить с помощью конкретных, выполнимых экспериментов, и они проверяются сейчас. Есть еще два объединения в фундаментальной физике, которые, как мне кажется, были бы наиболее желательны, но в их случае существующие идеи пока не такие зрелые.
Одно из них – это объединение наших описаний вещества и информации. Первое основано, говоря грубо и в общих чертах, на уравнениях, которые описывают потоки энергии и заряда.
Формально эти уравнения выводятся путем манипуляций с величиной, называемой действием. Действие имеет некоторые любопытные связи с энтропией, а энтропия имеет тесные связи с информацией, поэтому возможность объединенной теории очень заманчива. Такая теория могла бы предоставить более абстрактное понимание теоремы Нётер и укрепить ее основания.
Другое – это объединение динамики с начальными условиями, упомянутое несколько раз в нашей главной медитации.
То, что Фрэнсис Крик назвал «Удивительной гипотезой», находится на границе с физикой, но очень важно для любого обсуждения окончательного объединения, а именно: сознание, также называемое Разумом, является эмерджентным свойством Материи. Поскольку нейромолекулярная наука прогрессирует, не встречая на пути никаких препятствий, и компьютеры воспроизводят все больше и больше типов поведения, которые мы называем интеллектом у человека, эта гипотеза кажется неизбежной. Но что именно она означает, остается, мягко говоря, туманным.
Красивый ответ?
Уолт Уитмен.
В знаменитых строчках из «Листьев травы», которые мы вспоминали, Уолт Уитмен предвосхищал дополнительность. В духе этого заключительного раздела я бы хотел продолжить его стихи в том же направлении:
Мир широк,
Он вмещает в себе мириады сущностей.
Я смотрю всеобъемлющим взором
И говорю тебе, что я вижу.
По-твоему, я противоречу себе?
Ну что же, значит, я противоречу себе.
Если ты еще не ослеплен блеском:
Посмотри по-другому и восхитись.
Анализ функций путем изучения их вариаций на небольших масштабах, как в (дифференциальном) исчислении.
Математически самое простое периодическое движение – это такое движение, при котором частица движется с постоянной скоростью по кругу.
По ссылке http://www.mathopenref.com/trigsinewaves.html вы можете найти более простое представление, которое также содержит анимацию важной физической реализации такого рода движения, изображенной в виде колебаний груза на пружине вокруг точки равновесия. Если вы сделаете развертку этого движения во времени, т. е. нарисуете график высоты груза как функцию времени, вы получите функцию синуса. Синусоидальные волны возникают в описании звуковых волн чистого тона и световых волн чистых спектральных цветов. В чистом тоне изменение плотности и давления в пространстве (относительно их средних значений) принимает форму синусоидальной волны, так же как и изменение этих величин во времени в любой фиксированной точке в пространстве.
Таким образом, когда наше ухо раскладывает аккорд на составляющие его тона или когда призма раскладывает входящий в нее световой луч на спектральные цвета, они производят определенный вид анализа, который математически довольно сильно отличается от того, что основан на тщательном изучении поведения на малых временных интервалах и дальнейшем построении более общего поведения на основе полученных результатов. Математический анализ функций, который разлагает их на синусоидальные составляющие с различными длинами волн или частотами, называется анализом Фурье, в честь французского математика Жозефа Фурье (1768–1830). Анализ Фурье и соответствующий ему синтез являются мощными инструментами, дополнительными по отношению к анализу бесконечно малых в (дифференциальном) исчислении.
Нет убедительной теории, которая бы объясняла, почему вообще Природа позволила себе это трехкратное повторение семейств.
Различие между семействами (поколениями) частиц можно рассматривать как еще одно свойство, аналогичное сильному или слабому цветовому заряду. Можно определить пространство свойства, связанное с принадлежностью к поколению. Таким образом, разные поколения можно было бы охарактеризовать еще одним набором цветов, причем первое поколение было бы (скажем) бледно-зеленым, второе лавандовым, а третье нежно-розовым. Энтони Зи и я, среди прочих, допустили, что это пространство свойства также может поддерживать локальную симметрию. Но поскольку нет никаких намеков ни в одном осуществленном эксперименте на превращения, которые могли бы быть вызваны калибровочными бозонами этой гипотетической симметрии, любая «симметрия поколений» подобного типа должна быть очень сильно нарушена, а ее калибровочные бозоны должны быть очень тяжелыми.
Однако остальные взаимодействия реагируют на заряды, которые могут иметь разные знаки.
Есть один интересный вопрос: почему Вселенная на больших масштабах электрически нейтральна и нейтральна ли вообще? Если бы она не была нейтральна, то электрические силы нельзя было бы скомпенсировать в точности и обратить в ноль, и тогда они, а не гравитация, могли бы доминировать в астрономии.
Мы могли бы также задаться вопросом о полном моменте импульса. Если бы он не был равен нулю, Вселенная разделилась бы на определенным образом ориентированные друг относительно друга вихреподобные структуры. Какова бы ни была причина этого, Вселенная, похоже, сбалансирована по заряду и моменту импульса.
В то же время для появления людей как физических существ важно то, что Вселенная не содержит равное количество барионов и антибарионов. Существуют правдоподобные идеи о том, как эта асимметрия возникла на ранних этапах Большого взрыва, начиная с максимально симметричных условий, а затем была зафиксирована в некотором состоянии. Для обзора этого вопроса см. frankwilczek.com/Wilczek_Easy_Pieces/052_Cosmic_Asymmetry_between_Matter_and_Antimatter.pdf.
Гравитация приводит к притяжению между телами.
Эйнштейн предвидел возможность существования того, что сейчас называют «темной энергией». Он заметил, что метрический флюид может иметь характерную плотность энергии, которая и является в сущности «космологическим членом» Эйнштейна.
Чтобы плотность была инвариантной относительно преобразований Галилея, дополнительно должно существовать такое же по величине, но противоположное по знаку давление. Таким образом, положительная плотность метрического флюида связана с отрицательным давлением. В этом случае мы говорим, что существует положительный космологический член. И, завершая логическую цепочку, отрицательное давление способствует расширению. Следовательно, положительная плотность «темной энергии» связана с тенденцией к расширению. В этом смысле она создает гравитационное отталкивание.
Также возможно рассмотреть отрицательный космологический член: если плотность энергии метрического флюида отрицательна, мы получаем положительное давление и тенденцию к сжатию.
Позднее физики осознали, что не только метрический флюид, но также и другие флюиды, которыми пронизано наше описание Природы, могут иметь конечную плотность энергии, либо положительную, либо отрицательную. В таком случае галилеева симметрия также требует, чтобы они оказывали противоположное по знаку давление.
Словосочетание «темная энергия» относится ко всем этим эффектам сразу, тогда как «космологический член» относится конкретно к метрическому флюиду. Физики не знают, как вычислить величину этих плотностей, если вообще имеет смысл говорить о них как об отдельных величинах. (См. Перенормировка.)
Литература на эту тему запутана и (поэтому) может сбить с толку. Вы можете найти больше информации по ссылкам en.wikipedia.org/wiki/Cosmological_constant, en.wikipedia.org/wiki/Dark_energy и scholarpedia.org/article/Cosmological_constant. Основные определения и описания наблюдений не являются спорными, но в остальном теоретическая почва становится предательски ненадежной.
Существует сложная связь между слабым взаимодействием, гиперзарядом и электромагнетизмом.
Положение электромагнетизма в нашей Главной теории осложнено, поскольку он оказывается сцеплен со слабым взаимодействием. Проблема в том, что калибровочные бозоны, которые самым простым образом действуют на пространства свойств, отличаются от тех, которые имеют самые простые физические свойства.
Фундаментально простые бозоны обычно называют B и C. Бозон B реагирует на разницу между желтым и фиолетовым слабыми зарядами, в то время как С реагирует на гиперзаряд. Гиперзаряд тесно связан с электрическим зарядом, но не равен ему. Фотон и Z-бозон математически являются комбинациями бозонов B и C. Фотон, который имеет нулевую массу, дает нам электромагнетизм, в то время как Z-бозон, открытый экспериментально в 1983 г., имеет массу, равную почти сотне протонов, и играет очень ограниченную роль в обычном мире.
Гиперзаряд отдельной сущности – это средний электрический заряд частиц, которые она представляет. (Иногда по историческим причинам также вводится дополнительный множитель «2».) Поскольку слабое взаимодействие связывает частицы в пределах одной сущности и способно изменять электрический заряд, мы не можем приписать этой сущности определенный электрический заряд, но гиперзаряд является подходящей заменой.
Книга Роберта Эртера «Теория почти всего» (The Theory of Almost Everything), изданная Plume, – хорошее изложение идей Главных теорий сильного и электрослабого взаимодействий для широкого круга читателей, дополнительное по отношению к нашему изложению.
Статья arxiv.org/pdf/hep-ph/0001283v1.pdf (автор – S. F. Novaes) – далеко не легкое чтение, но ее вторая часть содержит основные уравнения в самой, наверное, простой форме, в какой только можно их представить, тогда как первая часть – полезную историческую справку и описание базовых понятий.
Техническое обсуждение точного определения магнитного поля…
Связь между магнитными полями и силами, которые они вызывают, непроста. Магнитная сила, действующая на движущуюся заряженную частицу, пропорциональна индукции магнитного поля, величине заряда и скорости частицы. Направление силы перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектор скорости частицы и вектор направления магнитного поля.
Наконец, направление силы задается правилом правой руки, если взять направление вращения от вектора скорости к вектору магнитного поля. Все это описано по ссылке en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force. Вы можете найти гораздо больше информации на тему магнитных полей в блестящей статье en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_field. Книга лауреата Нобелевской премии Мелвина Шварца «Основы электродинамики» (Principles of Electrodynamics) издательства Dover – это современный, понятно написанный учебник.
Обычное правило правой руки, призванное разрешить эту неоднозначность…
Физика нейтрино – это целый мир, в котором преобладают героические эксперименты в экзотических местах. Веб-сайт, посвященный эксперименту IceCube («ледяной куб») – эксперименту, в котором длинные цепочки фотоумножителей опускаются глубоко в толщу антарктического льда, – содержит обширную дискуссию относительно этой области с увлеченным описанием экспериментальных методов, обширной исторической справкой и хорошей коллекцией ссылок на другие источники по адресу www.
icecube.wisc.edu/info/neutrinos.
Статья в «Википедии» en.wikipedia.org/wiki/Neutrino также хороша, хотя и менее самодостаточна.
Описание математического аппарата спиноров.
Спиноры возникают в нескольких разных местах в физике и родственных ей областях.
Спиноры можно определить для любого количества измерений, при этом их тонкие свойства интересным образом зависят от этого количества.
В некотором смысле самое впечатляющее использование спиноров – поскольку оно такое простое и геометрическое – это их применение в компьютерной графике. Спиноры предоставляют самый лаконичный, самый эффективный способ рассмотрения вращений в трехмерном пространстве. Если вам нужно вычислить множество вращений за короткое время, скажем, при создании интерактивной игры, оказывается выгодным использовать спиноры.
Самое простое применение такого типа спиноров в физике – это описание спиновой степени свободы электронов и других частиц со спином ?.
Другой вид спиноров – подходящий для четырехмерного пространства-времени – появляется в уравнении Дирака для релятивистских электронов. Еще один вид спиноров, связанный с 10-мерным пространством, появляется при описании сущности, которая представляет вещество в схеме объединения SO (10). Другие виды спиноров появляются в теории коррекции ошибок для квантовых компьютеров. Что связывает три последних появления спиноров, если они вообще как-то связаны, остается до сих пор неясным. Возможно, в этом заключается еще один шанс для искателей объединения.
Я был бы рад оказаться неправым на этот счет, но боюсь, что сколько-нибудь глубокое понимание спиноров находится за пределами человеческой интуиции, если только ей не способствует специальный опыт и знание специальной алгебры. Статья в «Википедии» en.wikipedia.org/wiki/Spinor написана очень хорошо, но и она не может совершить это чудо. Великий современный математик Майкл Атия прочитал лекцию «Что такое спинор?» («What is a Spinor?»), которую вы можете найти на YouTube по ссылке youtube.
com/watch?v=SBdW978Ii_E. Эта лекция сочетает в себе интересные случаи из жизни и общечеловеческую мудрость, с одной стороны, и очень продвинутую математику – с другой.
Одна из вещей, которую показывают спиноры, это то, что поворот на 360° – это не то же самое, что никакого поворота вообще, в то время как поворот на 720° градусов, т. е. в два раза больше – то же самое. Это различие также можно увидеть, проведя эксперимент, который можно сделать в домашних условиях, посмотрев видео здесь: youtube.com/watch?v=fTlbVLGBm3Q.
Здесь слово «простое» имеет определенное техническое значение…
Две ссылки, упомянутые ранее, подойдут и в этом случае: www.youtube.com/watch?v=mitioODQYgI и http://www.mathopenref.com/trigsinewaves.html. Я добавлю сюда две классические книги великих физиков по акустике: «Учение о слуховых ощущениях как физиологическая основа для теории музыки» (On the Sensations of Tone) Г. Гельмгольца и «Теория звука» (Theory of Sound) лорда Рэлея (Дж.
Стретт). Обе доступны онлайн бесплатно, а также в симпатичных изданиях издательства Dover.
квантовая механика — Вращение спинора
спросил
Изменено 1 месяц назад
Просмотрено 4к раз
$\begingroup$
У меня вопрос об интуитивном подходе к спинорам как к некоторым математическим объекты, обладающие определенными свойствами, делающими их похожими на векторы, но на С другой стороны, есть свойство, отличающее спиноры от векторов:
Wiki дает довольно геометрическое описание спинора:
«В отличие от векторов и тензоров, спинор превращается в отрицательный, когда пространство
непрерывно совершает полный оборот от $0°$ до $360°$ (см.
рисунок)».
вы получаете тот же самый спинор. Ясно, что если мы повернем обычный вектор на $360°$, то получим тот же самый вектор. Таким образом, спиноры не являются векторами в обычном смысле.
ВОПРОС 93$ Я считаю необходимым уточнить, что такое «вращение» в пространстве, где живут спиноры.
Проведем аналогию с обычными векторами и $3D$ пространством. Определяется обычное вращение в $3D$ по оси вращения $\vec{b}$ и углу поворота $\phi$. Скажем, wlog мы вращаемся вокруг оси $z$ на угол $\phi$, то поворот декодируется матрицей $3\times 3$ $R_{\phi} \in SO(3)$
$$R_{\phi}= \begin{pmatrix}cos(\phi)&-sin(\phi)&0\\sin(\phi)&cos(\phi)&0\\0&0&1\end{pmatrix} $$ 92$ и хотите выполнить «вращение» вокруг определенной оси с помощью некоторая фиксированная степень $\phi$. Какой объект в $SU(2)$ представляет это так называемое «вращение» и почему такая операция на спинорах называется «вращением»?
- квантовая механика
- угловой момент
- теория групп
- вращение
- спиноры
$\endgroup$
1
$\begingroup$
9{i {\phi\более 2} \left(\шляпа{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} \psi = \left (I\cos {\phi\более 2} + я (\шляпа {n} \cdot \vec{\sigma}) \sin {\phi\over 2}\right ) \psi ,
$$
где $\vec\sigma$ — три матрицы Паули, удвоенные образующие вращений в дублетном представлении.
Вы можете видеть, что вращение на 2π эквивалентно перевороту знака, и вдвое больше соответствует тождеству.
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Матрицы Паули и Дирака являются базисными векторами алгебр Клиффорда 3d евклидова пространства и 3+1d пространства Минковского соответственно. Если вы хотите понять спиноры, вам, вероятно, потребуется разобраться в алгебрах Клиффорда.
В алгебрах Клиффорда отражения через начало координат представлены единичными векторами (представьте их как нормали к поверхности зеркал). Алгебраическое произведение составляет отражения. Векторы могут быть записаны как взвешенные суммы базисных векторов, как и в базовом векторном пространстве. В матричном представлении Паули/Дирака матрицы Паули/Дирака являются базисными векторами ($\hat t$), $\hat x$, $\hat y$, $\hat z$.
Любое вращение можно представить как произведение четного числа отражений.
В трехмерном евклидовом пространстве произведения Клиффорда четного числа единичных векторов живут в подпространстве алгебры, изоморфном единичным кватернионам. В 3+1d пространстве Минковского подпространство изоморфно единичным бикватернионам.
Чтобы отразить вектор в зеркале, вы умножаете его с обеих сторон на представление Клиффорда нормали к поверхности (и, возможно, на коэффициент $-1$). Вы можете убедиться в том, что интерпретация отражения алгебры имеет смысл. Чтобы повернуть вектор, вы сопрягаете его с помощью соответствующего четного произведения, а обратное — это то же самое произведение в обратном порядке.
Спиноры преобразуются путем умножения на те же представления отражений/вращений, но только с одной стороны, а не с обеих.
Я думаю, что общее геометрическое понимание спиноров — открытая проблема. Однако, по крайней мере, в низких измерениях (вероятно, включая 3 + 1) можно думать о клиффордовском представлении спинора как о вращении от «канонической ориентации спинора» к фактической ориентации.
Таким образом, вращение спинора означает составление его представления с другим вращением.
Существенной причиной того, что для возвращения к исходной ориентации требуется поворот на 720°, является то, что отражение через два зеркала, разнесенных на угол $θ$, поворачивает объект на $2θ$. Когда вы поворачиваете зеркало на 180°, плоскость зеркала возвращается в исходное положение, но нормаль к поверхности указывает в противоположном направлении, и поэтому представление поворота в виде произведения векторов приобретает коэффициент $- 1$.
$\endgroup$
2
93$. Вместо этого вы должны связать их с группой $SO(3)$. Более того, вы должны думать о $SO(3)$ как об абстрактной группе, а не как о наборе матриц $3\times 3$. Набор матриц 3×3 — это просто представление группы в трехмерном реальном пространстве. Это оказывается полезным в классической физике, где направления в пространстве имеют 3 реальные степени свободы.
{\{\phi L_z, \cdot\}}$ 92$ степеней свободы при вращении.
Лично меня это не очень удивляет. Степени свободы спина электрона просто каким-то образом трансформируются при вращении. Угловая скорость с тремя степенями свободы, представленная в виде вектора, забавно трансформируется при отражениях, но в этом нет ничего глубокого. Масса или температура объекта, например, вообще не меняются при вращении, что неудивительно. Спиновые степени свободы электрона забавно трансформируются при вращении, почему же тогда это должно удивлять.
$\endgroup$
3
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
теория групп — образуют ли спиноры векторное пространство?
Я только бегло просмотрел статью Кодденса, но, если я правильно понимаю, то, что он делает, эквивалентно утверждению, что набор единичных векторов не является вектором, потому что они не образуют векторное пространство. Вы не можете «сложить» два единичных вектора вместе и всегда получить другой единичный вектор.
В своем введении он упоминает Гестена и геометрическую алгебру, что, на мой взгляд, дает гораздо более ясную интуитивную геометрическую картину спиноров. (Мне не ясно, почему он отвергает это.) В геометрической алгебре спиноры — это просто четные подалгебры — линейные комбинации всех произведений четного числа базисных векторов. Поскольку каждый базисный вектор представляет собой (ориентированное) отражение, пары базисных векторов представляют повороты (то есть пары отражений). 92=-1$. Таким образом, трехмерные спиноры — это просто кватернионы.
Если у нас есть два общих вектора $a$ и $b$, то $ab=a\cdot b+a\wedge b=|a||b|(\textrm{cos }\theta+B \textrm{sin }\theta)$, где $B$ — единичный бивектор в плоскости $a$ и $b$, а $\theta$ — угол между ними. Если перемножаемые векторы параллельны, результатом будет чистый скаляр, если они перпендикулярны, то результатом будет чистый бивектор. Скалярное произведение известно из векторной алгебры и представляет собой всего лишь скалярную часть геометрического произведения. Произведение клина является бивекторной частью и двойственно векторному произведению векторной алгебры. (Мы должны использовать двойственный вектор, чтобы превратить его в другой вектор, потому что векторная алгебра не может справиться с бивекторами. Однако это не работает идеально, потому что оно неправильно преобразуется при отражении, т.е. векторное произведение дает «псевдовектор», а не Таким образом, оба произведения векторной алгебры объединяются в одно произведение геометрической алгебры и соответствуют нахождению «действительной» и «мнимой» компонент спинора.
{-1}$ имеет обратную норму, и они сокращаются. Вот почему (ненулевое) скалярное кратное спинора соответствует одному и тому же вращению, и поэтому мы можем складывать спиноры без каких-либо проблем. Мы обычно используем единичные спиноры (называемые роторами) для представления вращений, чтобы у нас было однозначное представление, подобно тому, как мы обычно используем единичные векторы для представления таких вещей, как нормали к поверхности, где длина не имеет значения. (То есть, как комплексный вектор-столбец, они являются «унитарными» и преобразуются как SU (2).) Но использование единичных спиноров для представления вращений не означает, что они не являются элементами векторного пространства больше, чем использование единичные векторы. Также бывает так, что знак тоже отменяется, поэтому $-S$ дает то же вращение, что и $S$, но не является тем же самым спинором.
Я считаю, что геометрически лучший способ визуализации трехмерного спинора — это угол между парой ориентированных плоскостей отражения.
(«Ориентированный» означает, что плоскость имеет четко определенные переднюю и заднюю части.) Если плоскости идентичны, отражения сокращаются, и получается идентичность. (т. е. с параллельными векторами мы получаем чистый скаляр 1.) Когда вы поворачиваете одну плоскость по отношению к другой, результатом является поворот на удвоенный угол между плоскостями вокруг оси, вдоль которой плоскости пересекаются. Когда угол между плоскостями достигает 180 градусов, плоскости параллельны, но с нормалями в противоположных направлениях. Опять же, отражения компенсируются, так что это представляет собой вращение на 360 градусов, но это не тот же самый спинор! Угол 180 градусов означает, что одна плоскость является отрицательной по отношению к другой. Если вы продолжите вращать плоскости отражения, в конечном итоге угол в 360 градусов между отражениями будет соответствовать повороту на 720 градусов, и мы снова получим тождество. Неправда, что вращение спинора на 360 градусов дает противоположный знак, и вам нужно повернуться на 720 градусов, чтобы вернуться к тому, с чего вы начали.